M-群的一类子群的单项性

靳平，王贝，常学武

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

本文只考虑有限群与复特征标,所使用的符号和术语均按Isaacs的经典教材[1]。

我们的出发点是Dade在文献[2]中证明的一个经典结果,使用Glauberman-Isaacs特征标对应技术,Dade发现了M-群的一个较大的M-子群，为了叙述该结果,我们先给出相关的定义,并约定一些记法。

设χ∈Irr(G)为群G的一个不可约复特征标，如果χ可从子群的线性特征标诱导，即χ=λG,其中λ∈Irr(H)为某个子群H≤G的线性特征标，则称χ是单项的，亦称为M-特征标。进而，如果G的每个不可约特征标均为单项的，则称G为单项群，简称为M-群。

再假设群S互素地作用在群G上，则G的每个S-不变的不可约特征标χ∈IrrS(G)，可唯一对应一个不动点子群CG(S)的不可约特征标χ(S)∈Irr(CG(S))，称为χ的Glauberman-Isaacs对应,简单计,我们称χ(S)为χ的S-对应。

现在可叙述Dade的主要结果,即文献[2]中定理3.3考虑到Dade采用的某些记法与Isaacs的特征标教材[1]所使用的符号不大一致，我们仅在符号记法上做了适当的改写。

定理1(Dade) 设G为p-可解群，p为奇素数，P为G的正规p-子群，S为G的p′-子群，使得PS◁G。

(1)如果ψ∈Irr(P)为S-不变的,并且Irr(G|ψ)中每个成员均为单项的,则Irr(NG(S)|ψ(S))中每个成员也都是单项的,其中ψ(S)∈Irr(CP(S))为ψ的S-对应。

(2)如果G为M-群,则NG(S)也是M-群

本文将重点研究上述Dade定理的加强或推广，设法去掉或减弱P为p-子群的条件。为了把Dade所考虑的问题一般化，我们引入下述技术性概念。

称T=(G,N,ψ)为一个三元组，如果N是群G的正规子群，并且ψ∈Irr(N).方便起见，我们称S为三元组T的一个Dade子群，如果S≤G满足下述三个条件:

(1)正规条件:NS◁G，

(2)互素条件:(|N|,|S|)=1，

(3)不变条件:ψ∈IrrS(N),即ψ为S-不变的。

在此情形下，由于S互素地作用在N上，而ψ∈Irr(N)是S-不变的，故ψ存在相应的Glauberman-Isaacs特征标对应,即S-对应ψ(S)∈Irr(CN(S)).显然CN(S)◁NG(S)，此时我们又得到一个新的三元组:

T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))，

称为T关于Dade子群S的Glauberman-Isaacs对应，简称为T的S-对应。

此外，我们称三元组T=(G,N,ψ)为单项的，如果Irr(G|ψ)中的每个成员均为单项特征标。使用上述术语，我们可将Dade所研究的问题重新表述为:

Dade问题设T=(G,N,ψ)为三元组，S为T的一个Dade子群。

(1)假设T为单项的,研究其S-对应T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))何时也是单项的。

(2)假设G为M-群,研究NG(S)何时也是M-群。

注意到三元组T=(G,N,ψ)与其S-对应T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))，其中出现的四个群具有关系G=NG(S)N且N∩NG(S)=CN(S)我们可将T与其S-对应T(S)放在一起，构成一个特征标对的四边形，称为一个Dade构形D如图1所示:

(N,ψ)→G

D= ↑ ↑

(CN(S),ψ(S))→NG(S)

Fig.1 Dade’s configurationD

图1 Dade构型D

事实上,Dade构形D将是本文重点研究的一类对象。

我们将使用特征标的稳定子极限(见文献[3-5])以及特征标的线性极限(见文献[6])等思想和技术，研究上述三元组T及其相伴的Dade构形D.为此，我们需要简介相关的基本概念，更多的预备知识可见本文第1节。

固定一个三元组T=(G,N,ψ)，任取L◁G和λ∈Irr(L),使得L≤N且λ在ψ的下方,按Isaacs在文献[7]中的符号,可记为(L,λ)≤(N,ψ).记Gλ和Nλ分别为λ在G和N中的稳定子群(亦称为惯性群),令ψλ∈Irr(Nλ)为ψ关于λ的Clifford对应，显然Nλ◁Gλ我们又得到了一个新的三元组:

T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ)，称为T的关于λ的Clifford对应，简称为T的λ-对应。特别地，当上述λ选取为线性特征标时，在文献[6]中称T(λ)为T的一个线性约化。

需要指出的是，三元组的线性约化是一种很新的特征标证明技术，是2004年Dade和Loukaki在文献[6]中首先提出的，目前已发展为研究可解群特征标的重要方法之一。该文对给定的三元组T=(G,N,ψ)，引入了其线性约化和线性极限等一系列基本概念，创立了特征标的线性极限理论，主要结果是证明了三元组的所有线性极限都是等价的。该结果可用来简化Loukaki关于M-群主猜想的复杂证明，见文献[7-9]。从技术观点看,Dade和Loukaki在研究M-群时,主要考虑的问题是一个给定的三元组何时具有幂零的线性极限,即研究线性极限的幂零性问题。我们在文献[10]中首先研究了线性极限的平凡性问题，获得了若干新的单项特征标定理。此外，文献[11]推广了三元组的线性极限，研究了特征标五元组相应的线性极限平凡性问题。

本文将Glauberman-Isaacs的特征标对应技术和Dade-Loukaki的特征标线性极限技术，结合起来研究三元组的线性约化，重点考虑了带算子群的三元组的线性约化和线性极限。特别地，我们提出了上述Dade构形D的线性约化和线性极限等概念，建立了一种新的特征标图表约化技术,关键想法仍然是借助三元组的线性极限的平凡性,深入探讨上述Dade问题,据此获得了若干新的关于单项特征标的结果。

1 预备知识

本节简介所需要的特征标理论中的若干基本概念和结果。

1.1 特征标对

设G为群,H≤G为G的子群,θ∈Irr(H)为H的一个不可约复特征标。按Isaacs在文献[12]中的记法，我们称(H,θ)为G的一个特征标对。

在G的所有特征标对的集合上，按如下方式定义一个偏序关系:(H,θ)≤(J,η)当且仅当H≤J并且θ是ηH的一个不可约分量。使用特征标内积的Frobenius互反律，该条件也等价于说η是θJ的一个不可约分量。按惯例，亦称θ在η的下方，或等价地，称η在θ的上方。

特别地，当H◁G是G的正规子群时，我们称(H,θ)为G的一个正规特征标对。此外，在证明本文主要定理时，需要用到下述四边形的特征标限制对应。事实上，特征标的四边形对应，也是我们研究Dade构形的动机和背景。

引理1 设G=NH,其中N◁G，H≤G,令D=N∩H.如果ψ∈Irr(N)为G-不变的，并且δ=ψD不可约,则特征标的限制给出了一个双射

Res:Irr(G|ψ)→Irr(H|δ),χ|→χH.

证明见[12]中推论4.2。

1.2 Glauberman-Isaacs特征标对应

设群S作用在群G上，则诱导出S在不可约特征标集合Irr(G)上的自然作用，即对每个χ∈Irr(G)和s∈S，按如下公式定义s在χ上的作用χs,

χs(gs)=χ(g), ∀g∈G,s∈S.

记S在Irr(G)中的不动点集合为IrrS(G),其中每个成员称为G的S-不变的特征标。

当|S|和|G|互素时，则存在一个典范的双射，即所谓的Glauberman-Isaacs特征标对应

π(G,S):IrrS(G)→Irr(CG(S)),χ|→χ(S).

称χ(S)为χ的Glauberman-Isaacs对应，通常简记为χ*.具体内容和细节可参考文献[13]和[1]中的第13章。

我们需要关于Glauberman-Isaacs对应与Clifford对应相容性的一个结果。

引理2 设群S互素地作用在群G上,N◁G为S-不变的,任取χ∈IrrS(G)和ψ∈IrrS(N),则下述成立:

(1)(N,ψ)≤(G,χ)当且仅当(CN(S),ψ(S))≤(CG(S),χ(S)).

(2)令T=IG(ψ),设ξ∈IrrS(T|ψ),则(ξG)(S)=(ξ(S))CG(S).

证明恰为文献[14]中引理2.5的两个结论。

1.3 S-不变的线性约化

使用Dade和Loukaki在文献[6]中的术语，我们称T=(G,N,ψ)为一个三元组，如果G为任意群，N◁G且ψ∈Irr(N)。任取G的一个正规特征标对(L,λ)≤(N,ψ)，我们可做T的Clifford对应T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ)，称为T的λ-对应。特别地，我们将考虑λ为线性特征标的情形，此时称T(λ)为T的一个线性约化。

重复上述线性约化步骤，对三元组T的线性约化T1=T(λ)，接着再做线性约化,得到又一个三元组T2=T1(λ1)，再对T2做线性约化得到三元组T3=T2(λ2)，如此得到一个三元组序列T,T1,T2,…,Tn，其中任何一项Ti均称为T的一个多重线性约化。特别地，当Tn的任何线性约化都只能是自身时，即Tn没有真线性约化时，则称Tn为T的一个线性极限。

三元组T的中心Z(T)定义为Z(ψG)，相应的商群N/Z(T)称为T的截面。如果T的截面N/Z(T)是幂零群，则称T是幂零的。如果T有一个线性极限T′，其截面是幂零群，则称为T的一个极限截面，亦称T有一个幂零的线性极限。

不难看出，由于正规子群L和线性特征标λ∈Irr(L)都有多种选取，故一个三元组的线性约化不唯一，从而其线性极限一般也是不唯一的。然而，在文献[6]中证明了给定三元组T的所有线性极限都是等价的，特别地，一个三元组的极限截面是同构唯一的。

现在考虑带算子群的三元组的Clifford约化和线性约化。固定三元组T=(G,N,ψ)，设S为其一个Dade子群，正如在上节提到的Clifford约化，任取特征标λ做约化时，因为(L,λ)≤(N,ψ)，并且ψ是S-不变的，根据Clifford定理和Glauberman不动点引理，不难看出ψL存在一个S-不变的不可约分量与λ是N-共轭的。不失一般性，我们即可选λ为S-不变的，此时我们称(L,λ)为G的一个S-不变的正规特征标对，称相应的λ-对应T(λ)为T的一个S-不变的约化，称相应的线性极限为S-不变的线性极限。

根据文献[6]中的主定理，则一个三元组的任意两个S-不变的线性极限，显然也都是该文意义下的线性极限，所以也是彼此等价的，从而具有同构的极限截面。事实上，这些极限截面作为S-群是同构的，但本文不需要如此强的结构。

2 主要结果

我们先给出Dade构形的线性约化和线性极限的定义。设T=(G,N,ψ)为三元组,S为其一个Dade子群,选取G的一个S-不变的正规特征标对(L,λ)≤(N,ψ),其中λ未必是线性特征标,做T的λ-约化,即可得到一个新的三元组

T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ),

一个基本问题是S还是T(λ)的一个Dade子群吗?答案是肯定的,即下述结论。

引理3 设T=(G,N,ψ)为三元组,S为T的一个Dade子群,对任意λ∈IrrS(L),其中L◁G且L≤N,则S也是三元组T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ)的一个Dade子群。

证明因为λ是S-不变的,故S≤Gλ.注意到(L,λ)≤(Nλ,ψλ)≤(N,ψ)，按定义ψ也是S-不变的，根据Clifford对应的唯一性，可知ψλ也是S-不变的。再看正规条件:从NS◁G可知NλS=(NS)∩Gλ◁Gλ.又因为Nλ≤N，故互素条件自动满足，即(|Nλ|,|S|)=1.按定义，即证S也是三元组T(λ)的一个Dade子群。

根据上述引理，我们可以对三元组T=(G,N,ψ)构造其λ-对应T(λ)，由于S为其一个Dade子群，故可接着再做S-对应，得到一个新的三元组

T(λ)(S)=(NGλ(S),CNλ(S),(ψλ)(S)).

但另一方面，我们可以先对T做S-对应得到三元组

T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S)),

进而，任取G的一个S-不变的正规特征标对(L,λ)≤(N,ψ)，根据引理2,在算子群S的作用下得到(CL(S),λ(S))≤(CN(S),ψ(S)).显然(CL(S),λ(S))也是NG(S)的一个正规特征标对，自动是S-平凡的，更是S-不变的，又可用来做T(S)的λ(S)-对应，得到三元组

T(S)(λ(S))=(NG(S)λ(S),CN(S)λ(S),(ψ(S))λ(S)).

我们需要证明三元组的上述两个对应可以换序，即下述定理。

定理2 设T=(G,N,ψ)为三元组,S为T的一个Dade子群。再设L◁G使得L≤N，任取λ∈IrrS(L),则T(λ)(S)=T(S)(λ(S)).

证明我们先简化一下符号。固定算子群S后，可视*为正规化算子，即规定G*=NG(S)，N*=NN(S)=CN(S)并且ψ*=ψ(S).按此符号约定，则三元组T=(G,N,ψ)的S-对应变为T*=(G*,N*,ψ*)，我们需要证明的结论是T(λ)*=T*(λ*)，亦即

((Gλ)*,(Nλ)*,(ψλ)*)=((G*)λ*,(N*)λ*,(ψ*)λ*).

验证(G*)λ*=(Gλ)*.按上述符号的约定含义，则G*=NG(S)和L*=CL(S)，故(G*)λ*是λ*∈Irr(L*)在G*的惯性群,即ING(S)(λ*),而(Gλ)*=NGλ(S)=Gλ∩NG(S),恰为S在惯性群Gλ中的正规化子。任取g∈ING(S)(λ*)，则g∈NG(S)且(λ*)g=λ*，根据Glauberman-Isaacs对应的典范性和自同构稳定性，熟知(λ*)g=(λg)*，故(λg)*=λ*，再由该特征标对应的双射性，迫使λg=λ，即g∈Gλ=IG(λ)，表明g∈NG(S)∩Gλ，所以(G*)λ*⊆(Gλ)*.类似地，可验证反包含关系也成立，故得到所需的结论。同理可验证(N*)λ*=(Nλ)*.

最后验证(ψ*)λ*=(ψλ)*.显然是Glauberman-Isaacs特征标对应与特征标的Clifford对应,相互交换顺序的性质,根据引理2,不难看出所证结论成立。

有了上述准备，现在可定义Dade构形的线性约化和线性极限。

给定一个三元组T=(G,N,ψ)，设S为其一个Dade子群，做T的S-对应T(S)，则T关于S的Dade构形D已在第0节定义，但我们将采用上述定理2证明中的简化符号，即把S的作用视为正规化算子*，此时D恰为图2所示的四边形对。

(N,ψ) →G

D= ↑ ↑ .

(N*,ψ*) →G*

Fig.2 ConfigurationD

图2 构形D

现在做S-不变的线性约化。任取G的一个S-不变的正规特征标对(L,λ)≤(N,ψ)，其中λ取为线性特征标，则得到T的线性约化T(λ)，此时T*=T(S)也随之做关于线性特征标λ*的线性约化。使用定理2,则上述两个约化可以换序，据此可定义Dade构形D关于λ的线性约化D(λ)为图3所示特征标对的四边形。

(Nλ,ψλ) →Gλ

D(λ)= ↑ ↑

((Nλ)*,(ψλ)*) → (Gλ)*

Fig.3 ConfigurationD(λ)

图3 构形D(λ)

重复该线性约化过程,对D1=D(λ)再做线性约化得到D2=D1(λ1),如此得到一个Dade构形的序列D,D1,D2,…,Dn,我们称Dn为D的一个多重线性约化。同样地，当Dn的任何线性约化都只能是其自身时，即Dn没有真线性约化时，则称Dn为D的一个线性极限。类似地，如果三元组T有一个幂零的(或平凡的)线性极限，则称相伴的Dade构形D亦有一个幂零的(或平凡的)线性极限。

使用Dade构形的线性约化技术，我们可得到上述Dade问题的新结果，其意义在于从M-群中可以识别和构造出更多的单项子群。

定理3 设T=(G,N,ψ)为三元组,S为T的一个Dade子群,并且T有一个平凡的线性极限。如果T是单项的,则其S-对应T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))也是单项的。

证明方便起见，仍然将S的作用简记为正规化算子*，即T(S)=(G*,N*,ψ*).根据文献[10]中引理3.15,可知三元组的线性约化保持其单项性不变，再从定理2可知三元组的线性约化和S-对应可以换序，据此可知T及其相伴Dade构形D做若干次线性约化时，均不改变所给条件和所证结论，故不妨设T是线性不可约的，亦即D是线性不可约的。观察D的定义图表，因为T有平凡的线性极限，等价于说ψ∈Irr(N)是线性特征标，并且ψ还是G-不变的。此时ψN*也是线性特征标，自然也是G*-不变的。对Dade构形D使用四边形的特征标限制对应,见引理1,即得到一个双射:

Res:Irr(G|ψ)→Irr(G*|ψ*),χ|→χG*.

为证三元组T(S)=(G*,N*,ψ*)是单项的，按定义，任取θ∈Irr(G*|ψ*)，只需证θ是单项的。根据上述特征标的限制双射，存在某个χ∈Irr(G|ψ)使得θ=χG*.根据特征标的Mackey公式，不难验证单项特征标的不可约限制仍为单项特征标，故θ亦为单项特征标。

在上述定理3中，再假设G是M-群，当ψ取遍N的所有不可约特征标时，相应三元组T=(G,N,ψ)显然是单项的，再观察Dade构形，此时三元组T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))对每个ψ(S)∈Irr(CN(S))而言，也都是单项的，故有下述直接推论。

推论1 设G为M-群,N◁G,S≤G,使得(|N|,|S|)=1且NS◁G.如果对每个ψ∈Irr(N)，相应的三元组T=(G，N，ψ)均有平凡的线性极限，则NG(S)也是M-群.

T=(G,N,ψ)为三元组，S为T的一个Dade子群,并且对每个ψ∈Irr(N)，T均有平凡的线性极限。如果G为M-群,则NG(S)也是M-群。

在上述推论的情形，当N是交换群时，对每个ψ∈Irr(N)，三元组T显然都有平凡的线性极限。一般地，当N的每个Sylow子群均为交换群时，不难验证该条件也成立。据此可得到下述关于M-群的单项子群的一个类似Dade定理的结论。

推论2 设G为M-群,N◁G,S≤G,使得(|N|,|S|)=1且NS◁G.如果N的每个Sylow子群均为交换群,则NG(S)也是M-群。