对数求导法的问题探讨

宋大谋+郑爱武

摘 要：针对用对数函数求导法去求函数的导数，函数的值域的正负、利用对数的性质改变了函数的定义域对求导的影响以及对数求导法求出的不可导点是否真的是函数的不可导点，本文作出论述。

关键词：对数；值域；定义域；求导数

在教学中，教师只介绍对数求导的方法后就讲例题应用，而一些肯钻研的学生总觉得这种方法有些不严谨，对此提出质疑。本文对此作出一些探讨。

问题一：若函数的值域是负数，能否取对数？

对数求导的方法是在原函数的两边取对数，而不管函数值的正负。我们知道负数是没有对数的，故心存疑惑。针对这个问题，先将原函数两边取绝对值，即将函数y=f（x）先变为|y|=|f（x）|，然后再两边取对数就有：ln|y|=ln|f（x）|，下面讨论[ln|y|]′=（lny）′。

（1）当y>0时，显然有|y|=y，所以ln|y|=lny，

故[ln|y|]′=（lny）′=1yy′，这就是教材上常用的对数求导法的第一步。

（2）当y<0时，有|y|=-y，所以ln|y|=ln（-y），

故有[ln|y|]′=[ln（-y）]′=1-y（-y）′=1-y（-1）y′=1yy′，即有[ln|y|]′=（ln）y′。

综上不论y>0还是y<0，都有[ln|y|]′=（lny）′=1yy′，这说明不论y>0还是y<0，函数的两边都可以直接取对数，然后再去求导。

问题二：取对数后，利用对数性质运算时，改变了函数的定义域，对函数的求导是否有影响？

本文以例题说明：求函数y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）的导数。

解：两边取对数：lny=ln（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）（a）

lny=12[ln（x-1）+ln（x-3）-ln（x-5）-ln（x-6）]（b）

两边求导数：1yy′=121x-1+1x-3-1x-5-1x-6

所以：y′=12（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）1x-1+1x-3-1x-5-1x-6（c）

在這个求解过程中，很多同学认为式（a）变到式（b），定义域明显地改变了，定义域只是原来函数定义域的一个区间，这种改变是否影响到所求的导数？为解决此问题，我们把原函数的定义域按区间分成3个对应区间来讨论。

函数y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）的定义域为：x∈（-∞，1]∪[3，5）∪（6，+∞）

（1）当x>6时，显然取对数后得到式（b），而式（b）的定义域仍为x>6，这个变化是恒等变形。（b）两边求导后得到的结果是式（c）。

（2）当3

y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）=（x-1）（x-3）（5-x）（6-x）

两边取对数则有：

lny=12[ln（x-1）+ln（x-3）-ln（5-x）-ln（6-x）]（d）

式（d）的定义域仍是3

（3）当x<1时，用同样的方法，将函数恒等变形为

y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）=（1-x）（3-x）（5-x）（6-x）

同样有：lny=12[ln（1-x）+ln（3-x）-ln（5-x）-ln（6-x）]（e）

式（e）的定义域仍为x<1。最后求导的结果仍可以化为式（c）。

综上3种情况，用对数的性质后，对定义域没有影响，所求得的函数的导数的结果都是一样的。

基于以上的讨论，我们发现，对于复杂的根式分式函数，不论f（x）>0，还是f（x）<0，都可以用对数求导法去求导数。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学.北京：高等教育出版社，2014.

作者简介：

宋大谋，郑爱武，湖北省宜昌市，湖北三峡职业技术学院。