数学解题的“再回首”

摘要：解题的“再回首”是对解题活动的反思，是对解题活动的深层次再思考，是再发现、再创造的过程。从三个方面出发，探讨如何引导学生在解题前、解题中、解题后进行反思，从而深化问题理解，优化思维过程，揭示问题本质，培养学生树立解题反思的意识，提升数学解题的能力。

关键词：数学解题；反思；解题能力

《数学课程标准》把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”。这一标准的提出，要求学生在平时学习中要有反思的意识及能力，而这恰是我们所要提倡和引导的。

一、 设计解题前的反思，深化问题理解

解题前反思指的是看到一道题目时，能够通过联想、类比、反思，充分挖掘隱含条件，寻找解题思路，找到解题的突破口。

例1（1）从0到9这10个数中，每次任选5个，组成没有重复数字的5位数，问这个5位数是奇数的概率是多少？

分析：因为五位奇数首位不能为零，故样本空间是9A49，样本数为C15A18A38，故所求概率为：P=C15A18A389A49

（2） 从0到9这10个数中，每次任选5个，组成没有重复数字的5位奇数的概率是多少？

解题前反思：这两题的样本空间一样吗？样本数一样吗？有何异同点？由题（1）可以得到什么启示？

分析：不能因为五位奇数首位不能为零而束缚任意排列，回避这种情况就意味着不公平，故所求的五位奇数的概率为：P=C15A18A38A510

二、 设计解题中的反思，优化思维过程

解题中反思指的是在解题过程中让学生自己发现暴露出的问题，引导其去反思问题的根源。

例2一个等差数列的第6项是5，第3项与第8项的和也是5，求这个等差数列前9项的和。

分析：引导学生进行反思：本题主要考查什么知识点？考查意图是什么？有没有更简便的方法呢？

于是学生通过反思，就会联想到等差数列的性质，有如下巧解：因为a3+a8=a5+a6，得a5=0，所以S9=（a1+a9）29=9a5=0.

变式：一个等比数列的第6项是5，第3项与第8项的积也是5，求这个等比数列前9项的和。

分析：本题难度加大，在解题过程中更要反思解题方法与技巧，不能盲目计算，可以类比例2，运用等比数列的性质来解题较为简便。

通过反思，就会联想到等比数列的性质，同样有如下巧解：因为a6=5，a3a8=5，又a3a8=a5a6=5，所以a5=1，从而q=5，a1=a6q5=5-4，这样就可以求出s9。

三、 设计解题后的反思，揭示问题本质

解题后主要反思：在解题过程中存在的主要知识缺漏和解题错误的主要原因，以及在解题中所用不同知识间的内在联系，揭示问题本质，寻求规律，积累经验，提高解题能力。

例3已知a，b∈R+，且a+2b=1.求1a+1b的最小值.

以下是两位学生的解答：

解法一：由a∈R+得a+1a≥2（1）

由b∈R+得2b+1b≥22b·1b=22（2）

由（1）（2）式得a+2b+1a+1b≥2+22

所以，1a+1b≥22+1

故1a+1b的最小值是22+1.

解法二：因为a，b∈R+，且a+2b=1

所以1a+1b=（a+2b）1a+1b≥22ab·21ab=42.

故1a+1b的最小值是42.

反思：上述两种解法都是错误的.在教学过程中应及时引导学生反思错在哪里？导致错误的是什么？求代数式的最小值，关键在于确定最小值能否得到.在若干个不等式中，等式成立的条件是不能矛盾的.解法一中，（1）式中等号成立的条件是a=1，而（2）式中等号成立的条件是b=22，这与a+2b=1是矛盾的.解法二中，a+2b≥22ab当且仅当a=2b等式成立，1a+1b≥21ab当且仅当a=b等式成立.显然也是矛盾的.在学习诸如a2+b2≥2ab等重要不等式时，学生往往对“≥”中的“=”成立的条件不够重视.通过这样的反思，不但使学生对不等式中等式成立的条件引起高度重视，而且对其应用的理解层次得到提高。

总之，教师必须努力培养学生的解题反思意识与应用，学生只要学会了解题反思，就能以少胜多，较大限度地发挥其解题能力，使效益最大化，有利于跳出题海，激发创新意识，提升思维品质，事半功倍。

作者简介：

蒋秀金，福建省三明市，福建省尤溪县第五中学。endprint