应用于方管的超声波流量计数值积分方法分析

张彦楠，杨 彬

超声波流量计作为新兴流量计，具有精度高、非接触式测量和无流动阻挠等优点，在工业生产、能源计量、科学研究等领域越来越受重视[1].多声道超声波流量计测量流体流量时，通过在待测截面两侧布置多个换能器，精确地测量各声道上超声波沿水流顺向及逆向传播的时间差，最后用加权积分的方法计算出流体流量.

多声道超声波流量计在测量圆形管道流体流量时的数值积分方法已被广泛研究，如高斯—雅克比积分方法、OWICS（圆管最优权重积分），应用这两种积分方法，可以计算出多声道超声波流量计在圆形管道中测量流体流量时各声道的声道高度和权重系数.但是对于非圆管的数值积分方法却很少报道，而采用方形管道的超声波流量计已见报道[2]，所以研究多声道超声波流量计在方形管道上的数值积分方法十分必要.

1 管道内流量积分原理

时差法超声波流量计测量流体流量时，利用超声波在流体中传播时因顺水流和逆水流方向不同而传播速度不同的特点，测量它的顺流传播时间t1和逆流传播时间t2的差值，从而计算流体流动的速度和流量[3].其测量原理如图1所示.

各声道测量得出的流体流速表达式可表示为

其中：v0，i表示第i条声路测得的流体轴向平均速度；Li表示第i条声道长度；α表示声道角；t2，i和t1，i分别表示第i条声道的逆流传播时间和顺流传播时间[4]；i表示声道数.

多声道超声波流量计在方形管道上的安装方式如图2所示，多对超声波换能器被平行的安装在待测管道两侧.

图1 超声波流量计流速测量原理Fig.1 The measuring principle of ultrasonic flowmeter

图3 方形管道内流量积分原理Fig.3 Integral principle of flow in square pipe

多声道超声波流量计在待测截面上平行的布置多条声路，获得的声路速度代表待测截面上相应平行条带内的平均速度[5].然后通过各声路得到的声路速度计算l（z）·v（z）的值，来逼近[-L/2，L/2]上的定积分，方形管道内的流量积分示意图如图3所示.

如图3所示，多声道超声波流量计在方形管道上了流量积分可以表达为

式中：l（z）为声路宽度，在方形管道中声路宽度为L，即管道横截面边长.令声道高度z=t·L/2，可以令式（2）所示的数值积分变换到 [-1，1]区间上，则流量计算公式可以变为

相对于圆形管道内流量积分计算公式，方形管道内的流量积分公式可以看作权函数ρ（t）=1的积分公式进行计算，可以利用牛顿—柯特斯公式、复合梯形公式与高斯—勒让德公式三种数值积分方法对各声道的声路高度与各声路的权重系数进行计算.

2 方形管道声路高度与权重系数推算

2.1 牛顿—柯特斯方法

根据牛顿—柯特斯积分方法，将区间 [-1，1]划分为m等份，步长为h=2/m，根据步长h选取等距离节点，即声路高度Zi，表示为

用等距离声道高度Zi构造的插值型求积公式可以将公式（3）表示为

2.2 复合梯形公式

复合梯形公式同样是将区间 [-1，1]划分为m等份，步长为h=2/m，根据步长h选取等距离节点，即声路高度Zi，如公式（4）所示，复合梯形公式是在每个子区间 [Zi，Zi+1]上采用梯形公式，则流量计算公式可以表达为

与牛顿—柯特斯积分方法相同，公式（7） 中的m与声路数N的值并不相等，实际上N=m-1.由于管道内管壁处流速为零，所以公式（7）应该表示为

应用复合梯形公式计算的四声道超声波流量计的相对声路高度和权重系数如表2所示.

复合梯形公式表示图3中每一平行条所占比重相同，可以理解为面积平均方法，即声路条带的相对面积可以作为截面平均速度计算时的权重系数.

表1 牛顿—柯特斯积分法声道高度和权重系数Tab.1 Channel height and weight coefficient based on Newton Cotes integration method

2.3 高斯—勒让德积分法

公式（3） 可以看作是权函数为ρ（t）=1，积分区间为 [-1，1]的高斯积分公式，勒让德公式是区间[-1，1]上关于权函数ρ（t）=1的正交多项式，可以表达为

表2 复合梯形公式计算的声道高度和权重系数Tab.2 Channel height and weight coefficient based on Compound trapezoid formula

其中：P0（t）=1，多项式Pn+1（t）的零点即为公式（3）的高斯点，即相对声路高度ti的值.

根据高斯积分原理，高斯—勒让德积分法的积分权重系数可用勒让德多项式表示为[7]

式中：ti为勒让德多项式Pn+1（t）的零点.应用高斯—勒让德积分方法计算得到的四声道超声波流量计的相对声路高度和权重系数如表3所示.

3 方形管道中积分方法的验证

近年来，建立在经典流体力学和数值计算方法基础上的计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）在解决各种复杂流动和热传问题上有着十分巨大的优势，FLUENT是目前国际上比较流行的用来解决流体、热传递和化学反应等工程问题的商用CFD软件[8].应用CFD仿真软件FLUENT对上述3种应用在方形管道中的积分方法进行模拟仿真，分别对3种积分方法的流速测量的准确度进行分析.

表3 高斯—勒让德积分法声道高度和权重系数Tab.3 Channel height and weight coefficient based on Gauss Legendre integral method

3.1 方形管道几何模型的建立

FLUENT仿真实验中应用的方形管道的几何模型如图4所示，管道的横截面为正方形，管道横截面边长为L，管道长度为20 L，其中L=100 mm.

3.2 管道网格划分与FLUENT参数设置

应用GAMBIT软件建立方形管道的几何模型，并对其进行网格划分.由于流体流动在近壁的边界附近的变化比其他位置剧烈，需要适当的加密边界网格，所以需要为管道划分边界层，用来提高计算结果的准确性[9].方形管道的横截面和体网格的划分结果如图5所示.

图4 方形管道几何模型Fig.4 Geometric model of square pipe

图5 方形管道的网格划分Fig.5 Grid partition of square pipe

FLUENT求解器首先读入GAMBIT前处理软件生成的网格文件，然后检查GAMBIT生成网格的质量，要求所有的体网格均大于0，当网格质量不符合要求时，需要调整网格甚至重新划分网格[10].FLUENT中选择RNG K-ε湍流模型.使用SIMPLE算法进行求解.为了使计算结果更加准确，设置收敛残差为1×10-6.

管道内的流体为液态水，管道的入口流速选取1～25 m/s的25个整数流速值进行仿真计算.在管道15L处按照表1～表3中计算出来的相对声路高度选取四条声路线来模拟超声波流量计的测量.声路线与管道夹角为45°.当入口速度选定后进行仿真计算，提取四条声路线上的速度，作为超声波流量计各声路的实际速度，然后根据不同积分方法计算得到的权重系数计算管道内流体的速度.然后改变入口速度，分别对25个流速值进行仿真计算.最后，对3种积分方法计算流体流速的准确性进行分析.

3.3FLUENT仿真结果分析

当入口速度为5 m/s时，方形管道横截面的速度分布云图如图6所示.

当入口流速从1～25 m/s变化时，根据3种积分方法原理，分别提取不同入口流速值时对应的4条声路线上的速度，然后根据3种积分方法计算得到的权重系数对提取的声路线上的速度进行加权计算.用表示实际测量中多声道超声波流量计通过在各个声道计算得到的流速基础上加权求和得到的管道截面流速，可以表示为

应用3种积分方法计算得到的管道流速如图7所示.

图7中，实际流速应为y=x直线上的点，式中y为计算得到的流速值，x为流速测量点的流速值.可以看出高斯—勒让德积分法计算得到的流速与真实流速比较接近，而复合梯形公式和牛顿—柯特斯方法计算得到的流速对于实际流速偏离较大，计算结果并不准确.

图6 5 m/s时管道横截面的速度分布云图Fig.6 Velocity profile of cross section of pipeline in 5 m/s

流速计算过程中的相对误差可以表示为

图7 不同积分方法计算得到的流速对比Fig.7 Comparison of flow velocities calculated by different integration methods

图8 不同积分方法计算的流速的相对误差Fig.8 The relative error of velocity calculated by different integration methods

如图8所示，3种积分方法中，复合梯形公式的积分误差最大，为-15%左右，牛顿—柯特斯方法也有着-8%的积分误差.就积分方法本身而言，由于复合梯形公式和牛顿—柯特斯方法在积分计算的过程中，积分节点包括积分区间的2个端点，对于积分端点的值有一定的依赖性，强调管壁处的流速对平均流速有一定的贡献，但是管道中流体流动的规律是管道近壁处流体流速为零，所以应用这2种方法计算流体流速时，会舍掉积分端点的积分值，从而形成比较大的误差.由于复合梯形公式和牛顿—柯特斯方法计算得到的流速的相对误差太大，所以这2种方法在多声道超声波流量计测量方形管道流速中并不适用.

相对于其他2种方法，高斯—勒让德积分法计算得到的流速的相对误差最大为0.62%，积分过程中积分节点并不包括积分区间的端点；积分计算过程中，中间声路的权重大于边缘声路的计分权重，在流速计算时强调中间声路流速对于平均流速的贡献大于边缘声路流速.所以其积分计算结果更接近实际流速值，积分准确度高.在一般情况下，高斯方法可以达到更高的精度，而在超声波流量计的测量问题中，高斯方法的精度要大大高于牛顿-科特斯方法.多声道超声波流量计测量方形管道流速时应选用高斯—勒让德积分法对流速进行计算.

4 高斯—勒让德积分法应用中声道数与误差分析

多声道超声波流量计在测量计算方形管道流速时，增加声道数量可以扩大超声波声道对流场的覆盖范围，增强声道对流场的适应能力，减小测量误差.但是增加声道数会增加预算，并且声道数量太多对于小管径管道的测量并不适用.所以声道数量并不是越多越好，实际应用中需要考虑声道数量和测量准确度两个方面，选择出最优的应用方案.

当多声道超声波流量计应用高斯—勒让德积分法计算方形管道的流速时，积分方法计算得到的流速的相对误差会随着流体流速的增加而减小，所以需要在固定的流速下去改变声道的数量，从而得到声道数量与相对误差之间的关系.

在FLUENT仿真软件中，设置入口速度为5 m/s，并按照高斯—勒让德积分法计算得到的声路高度选取n（n=1，2，…）条声路线来模拟n声道超声波流量计的流速测量，管道几何模型和FLUENT参数设置均与第3节中相同.仿真得到入口速度为5 m/s时，声道数量与高斯—勒让德积分法计算得到的流速的相对误差的关系如图9所示.

由图9可以看出，声道数量为1～4声道时，测量误差减小比较迅速，四声道测量时测量误差大约为0.2%.声道数量为4～8时，误差仍呈减小趋势，但是减小趋势变缓慢，八声道测量时的测量误差约为0.08%.随着声道数量的继续增加，测量误差的减小趋势逐渐趋于平缓，测量误差变化已经不再明显，所以多声道超声波流量计在实际应用中，如果安装环境允许可以选择4～8声道超声波流量来提高流量计的测量准确性.

图9 声道数量与测量误差关系曲线Fig.9 The relationship between the number of channels and the measurement error

5 结论

1）提出3种适用于多声道超声波流量计在方形管道上进行测量时的数值积分方法：牛顿—柯特斯方法，复合梯形公式法和高斯—勒让德积分法.分别计算出3种方法应用于四声道超声波流量计时的声道高度和相对权重系数，并通过FLUENT仿真软件对上述3种积分方法的准确度进行仿真验证，发现应用牛顿—柯特斯方法和复合梯形公式法进行流速计算时，测量误差太大，不适用于流速积分计算.而高斯—勒让德积分法的测量误差最大仅为0.62%，积分准确度高，所以测量方形管道流速时应选用高斯—勒让德积分法对流速进行计算.

2）当多声道超声波流量计应用高斯—勒让德积分法进行流速计算时，应用FLUENT仿真模拟并绘制入口速度为5 m/s时的声道数量与测量误差的关系曲线，发现声道数量越多积分准确度越高，但是声道数量大于8时，测量误差减小趋势已不再明显，继续增加声道数量对提高流量计的测量准确度意义不大.实际应用中可以选择4～8个声道数量对流体的流速进行测量.

[1] 朱斌庚.均匀不完全覆盖下时差式超声流量计立体声道设计方法研究[D].广州：华南理工大学，2014.

[2] 贺胜，彭黎辉，仲里敏.基于CFD的超声波流量计最优声道位置研究[J].仪器仪表学报，2009，30（4）：853-856.

[3] 孟丹丹.多声道管段式超声波流量计[J].仪器仪表用户，2016，23（8）：24-16.

[4] 张皎丹，郑丹丹，张涛，等.多声道超声流量计数值积分方法优化[J].化工自动化及仪表，2014，42（2）：144-147.

[5] 胡鹤鸣，王池，孟涛.多声路超声流量计积分方法及其准确度分析[J].仪器仪表学报，2010，31（6）：1218-1223.

[6] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008.

[7] 王尊正.数值分析基本教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1993.

[8] 王瑞金，张凯，王刚.Fluent技术基础与应用实例[M].北京：清华大学出版社，2007.

[9] 李鹏飞，徐敏义，王飞飞.精通CFD工程仿真与案例实战[M].北京：人民邮电出版社，2011.

[10]张凯，王瑞金，王刚.FLUENT技术基础与应用实例[M].北京：清华大学出版社，2010.