零次方守恒定律第三章广义类型论

薛广振

摘要：罗素建立类型论只是为了解决悖论问题，而不是要建立一个通用类型体系模型，因而罗素对类型体系的描述远不完整，而在解决悖论问题上也充满矛盾。本文把它完善之后，发现了重要逻辑学知识，从而为分析和认识0次方守恒定律构筑了逻辑学理论框架。

关键词：罗素类型论|极限类|中间类|万有类|逻辑间断点|广义类型论。

§3-1 逻辑间断点

二十世纪初叶，数理逻辑学在讨论集合论时遇到了许多悖论，因为集合的基本关系就是包含与被包含，悖论似乎避之不及，更似乎束手无策，从而引起了一场不小的风波，史称“第三次数学危机”。由于各种悖论的一个共同特点就是自我包含，于是罗素断言“自我涉及就是悖论”，并提出了一个“类型论”方案，试图解决悖论问题。本文将在下一章讨论悖论问题，此章只讨论类型论。罗素始创了一个基本类型体系模型，定义了类型间的基本逻辑关系；这个模型是如此之典型、自然，就像欧几里得的“两点连成一条直线”，以至于，它的任何结构特征都应该直接上升为理性认识，作为逻辑规则，来指导人们去认识世界。本文此章就是基于罗素的类型论模型，建立广义类型论的逻辑框架，与本文的哲学框架协同，来共同引导本文完成对0次方守恒定律的认识。研究发现，罗素类型论实际上是严重残缺的，并且含有深刻的内在矛盾。只有理清其中关系，挖掘其中有效知识，才能真正使这个类型模型展现其应有的科学价值。

罗素的观点很简单、直接：自我涉及即是悖论，即，任何一个集合绝不是它自身的元素。所以他提出“恶性循环原则”，后人称之为“类型不可混淆原则”，说，只有在两个不同的类型之间，才可以构成包含关系。为贯彻此原则，罗素建立了如下的类型体系模型：

……

类型2：个体的类的类

类型1：个体的类

类型0：个体

他规定，属于类型0的个体只能做类型1的类的元素……一般地说，类型n的类只能做类型n+1的类的元素。罗素尤其着重指出了一种极端的情况：只要说总体是它自身的元素（后人称之为“万有类”）就是悖论。这就是罗素类型论的要点。

罗素用“……”省略了他认为简单重复的内容，以此来捍卫逻辑的一般性与抽象性，但这恰恰造成了类型模型的残缺和重要逻辑知识的遗失。按照“第n层次上的类只能做n+1层次上类的元素”的逻辑，类型自然向上延伸、展开，不管一个类包含几个元素，随着层次的提升，层次上的类数会越来越少……自然结果是，总有一个层次其中类数减少到1，这时类中元素也只剩一个，类型系列终止，体系结构终结。这种层次上只有一个类且类中只含一个元素的情况，就是罗素遗失的东西。显然，罗素忽略了类型系列要收敛的必然结果，也许他以为类型会无休止地延展下去……即便相反，类型系列发散，那么内在逻辑是，随着层次上类数越来越多，类元素的内涵就会越分越小，总会有一个层次其类元素的内涵值等于“1”而不能再小了……那么此时，类型系列仍然会终止于这样一个自然终止点，从而体现出体系的结构完整性。而这个发散状况下的终止点，实际上就是罗素自己定义的“个体”的类型/层次。

本文把只含一个元素的类型称为极限类。显然，在一个自然完整的类型体系中，有两个具有极限类的层次/类型，一个就是“个体”所在的层次，即类型起始的层次，这时，一个“个体”就是一个类；第二个则是被罗素遗漏了的那个层次，即类型终止的层次。本文称前者为下极限层次，称后者为上极限层次，称介于两者之间的那些层次为中间层次，并称居于中间层次上的类型为中间类。显然，中间层次上类的特点是，类中含有多个元素。其中，下极限层次上具有体系中最多的类，上极限层次上则只有一个类。据说后来罗素为不得不使用了“个体”做第0类型的元素感到懊恼，因为“个体”稍显具体，趋于内涵性，因而委屈了逻辑的抽象美。但现在看来，这正是他的贡献之一，只是还不够，因为，上极限层次上的类型也应该有个稍显“具体”的名字。因为，自然地出现极限类是类型体系的必要组成部分，因而也是逻辑知识的必要组成部分。所以，本文為上极限层次定名为体系。于是，完整的类型体系模型就应该表示为表2形式。

分析发现，完整模型（红色部分）中自然存在着三种自我结构。一，极限类，由于类中只有一个元素，因而，元素就是它自身的类，类就是自身的元素——自我包含。二，上、下极限层次上具有一致的类型——极限类，因而层次系列自然终结，并进入自身复制，就像几何体系和算术体系那样，因而满足体系完整性要求；并且，体系首尾闭合，形成整体自我结构。它的一个自然模型就是植物生长过程：种子、发芽、枝叶、开花/种子，以及昆虫的卵、蛆、蛹、蛾/卵。三，在上极限层次，由于“体系”是包含所有“个体”的总类，同时它自身又自我包含，所以正好构成了被罗素判为非法的“万有类”——一切类的总合还是类。

表2 完整类型体系模型

现在反观罗素类型论，有两处内在矛盾。一，一个自认为是用来避免自我包含结构的体系，却偏偏必然地发生自我包含结构。二，罗素把单纯的“自我包含”和极限嵌套的“万有类”都判定为悖论，现在看来都是错的，至少与自然模型相悖。而极限类单一元素的数学特性以及自我包含的逻辑特性，恰好是0次方守恒定律的形式特性，“万有类”则是由0次方守恒定律所衍生展开的宇宙主体体系的整体外在逻辑特性。万幸，罗素仅仅判定集合论而非整个数学中的自我结构都非法，否则，数学中的递归函数将命运如何？

但是，罗素最不愿看到的是，不仅极限类的合法性不容否定，相反的，极限类的存在，实际上否定了完全的“一般性”、“抽象性”和“形式性”的合法性。形式性被迫间断的地方是极限类，它自然地拥有宇宙间最还原、最本源、最内涵性的内涵“1”，而容不得任何形式化修饰，比如像“n”、“f（x）”等。这是一个不把罗素类型论推演到最后所不能发现的问题。本文称形式性被迫终止的这个点为逻辑间断点。早在1931年，哥德尔证明了他的“不完备性定理”时，就有科学家哀叹：他抽走了数学家对逻辑美的信仰。但是现在，哥德尔得到了这个间断点的全力支持，逻辑学要从朦胧美走向维纳斯般的现实美。因为这已经不是罗素的问题，而是整个逻辑学的问题。由于罗素判定极限类非法，尤其是康托（Georg Cautor 1845-1918）已经劝诫人们“不能再研究任何包含总类的类了”，所以极限类无意间成了逻辑的死角，间断点问题被埋藏在最底下来。但曾经，罗素是离这个间断点最近的人，因为，让他烦恼的“个体”，就是“1”的自然语言翻译。endprint

极限类很像现有哲学说的“特殊性”概念，说，“特殊性存在于普遍性当中”，这吻合了当代逻辑学的美感追求，所以罗素歧视“个体”看似有道理。但是，由于极限类属哲学主体性，中间类属客体性，所以，“1”不是“n”的特例，相反的是它的内涵本源（参看本文后面的表6）。这是让逻辑学家们彻底梦碎的根源。尤其是，“特殊性”与“普遍性”都缺乏明确而还原的定义，所以，“极限/中间”完全不等价于“特殊/普遍”。但中间类却确实是形式化的逻辑根源，当然也是逻辑学乃至包括数学在内的整个符号科学的逻辑根源，所以，逻辑间断点的发现揭示了一个冰冷的事实：被逻辑间断点隔开的“1”，是整个符号科学体系所不能描述的；相反，它将成为符号科学的内涵起源点。12式正是此关系的精准数学表达。哲学缺失了主体意识，物理学缺失了0次方守恒定律，逻辑学缺失了极限类……维纳斯的美，美就美在知道缺的是什么。因为，极限类已经佐证了本文的主体认识原则的合理性，并且都指向了0次方守恒定律。

§3-2 广义类型论

表2所示的完整类型体系模型不是“本文的”，而仅仅是罗素模型的完整版本，因为基本的要素和逻辑规则都是罗素始创的，他因此将永载史册。但是，罗素又明确地判定“自我涉及就是悖论”，还判定“万有类”为非法，那么罗素实际上是禁止了极限类的存在。这反衬出本文的类型认识与罗素类型论之间的迥然差异。归纳起来：在一个自然完整的类型体系中，一，居于上极限层次和下极限层次上的极限类，是体系中自然、合法的组成部分。二，类型层次系列的逻辑属性在极限类型与中间类型之间是间断的；类型的最大差异在于（两个）极限层次与（若干个）中间层次之间，而不在于不同的中间层次之间（如罗素所说的n与n+1）。三，在哲学上，极限层次具有主体性，中间层次具有客体性，因此，极限层次内涵是中间层次内涵的本源驱动因子，而非相反。四，极限类只能居于极限层次，中间类型必须居于中间层次，类型秩序不可错乱；极限类居于中间层次和中间类居于极限层次，都将构成“错位悖论（下一章）”。

基于上述四点，本文“直接描述”的逻辑版本就可以这样表达：这个世界，事物是分类的，事物的类型构成连续的系列；事物的类型最后是要还原归一的，还原到一个只有一个实例的类型，且层次上只有此一个类型，即万有类。或者说，这个世界实际上只有一个类型，万有类，后续类型都是它的衍生物。这其实是培根形而上学唯物主义的逻辑翻版，也是本文体系的总体逻辑世界观。相对于“罗素类型论”，本文把本文关于完整类型体系的分析与认识称为广义类型论。它包括一个总体逻辑世界观和四个细则认识。用n表示下极限层次上“个体”的个数，用e（element）来表示层次上类中元素的个数，由于罗素判定极限类非法，那么罗素类型论就可以表示为4式形式：

1

而广义类型论恰恰是要为极限类型正名，所以广义类型论就应该表示为5式形式：

1≤e≤n

广义类型论关于“最大类型差别”的认识，与本文的主体认识原则同等重要，它们共同构成本文分析与认识0次方守恒定律内涵结构的理论基础。具体体现在，极限层次上的事物是哲学主体性的，中间层次则属客体性；而哲学主体性也势必都居于逻辑极限层次，哲学客体性事物则居于中间层次。这两者共同作用，提示本文一个新的逻辑认识：描述体系中，命题的主语必须是被描述对象的主体，否则将埋下悖论种子。这是一个最具内涵色彩的逻辑原则。当然，罗素类型论只为解决悖论问题，而不是要讨论类型体系的典型特征，即便如此，本文下一章将说明，广义类型论将能够精准地指出相应悖论的起因，因而能够兼容罗素类型论，但同时又能够最大限度地保护有效知识。

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下期待續.......