运用SOLO分类评价理论指导圆的切线判定教学

鲍月平

【摘要】 圆的切线判定是初中教学中的重点和难点，也是中考的热点，通过对学生的调查发现，学生对切线的判定认识大体分为五个层次，这是SOLO分类评价理论的体现。本文利用SOLO分类评价理论对圆的切线判定进行教学，将学生的思维引导上更高一层次的结构水平。

【关键词】 SOLO分类评价理论 圆的切线判定

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）11-077-02

1. 问题的提出

圆的切线判定是人教版第24章内容，是初中教学的重点和难点，也是中考的热点，课本中给出了“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这一判定方法和切线定理“经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线”。学生在做这一类题目时往往觉得无从下手，毫无思路。笔者在教完这一部分内容后，针对“如何判定一条直线是圆的切线”这一主题对学生进行了调查，回答的结果可以总结为以下几种情况：

（1）毫无头绪。

（2）证明这条直线与半径垂直；

（3）已知条件中直线与圆若有公共点，①存在连接公共点的半径，可直接根据切线的判定定理证明；②条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连接圆心和公共点，然后根据切线的判定定理来证明，简称为“连半径，证垂直”

（4）在（3）的回答基础之上补充，若这条直线与圆无交点，则先过圆心作这条直线的垂线段然后再证明这条垂线段等于半径长，根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”证明，简称为“作垂直，证半径”.

（5）在（4）的基础上补充了如下内容，在“连半径，证垂直”的情况下，找已知条件中是否存在直角，若存在，找已知直角与要证明的直角之间有什么位置关系，若为同位角、内错角、同旁内角，可以考虑证两直线平行，否则可以通过证明全等、相似等证两角相等或通过角的等量代换，三角形内角和等证明直角；若没有直接的直角，看条件是否有直径，等腰三角形（考虑三线合一），勾股定理逆定理等进行证明。

通过学生的回答发现，学生的对圆的切线判定的思维层次正好体现了SOLO分类评价理论的五个层次结构水平。

2. SOLO 分类评价理论的基本含义

SOLO 分类评价理论是由比格斯（J.B.Biggs）教授首倡，是一种以等级描述为基本特征的质性评价方法。 “SOLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”首字母的縮写，即可观察的学习成果结构。也就是说，学生在具体知识的学习过程中，都要经历一个从量变到质变的过程，每发生一次跃变，学生对于这一种认识的认知就进入更高一级的阶段，可以根据学生回答问题时的表现来判断他所处的思维发展阶段，进而给予合理的评分。SOLO 分类评价理论学习成果划分为5个层次，基本含义如下：

1）前结构层次：完全错误或不相关的答案，处于这一结构层次的学生基本上没有所面对问题的简单知识，找不出任何解决问题的办法。

2）单点结构（unistructural）：只使用了所给问题涉及的某一个相关信息。学生关只能联系单一事件，找到一个线索就立即跳到结论上去。

3）多点结构（multistructural）：学生抓住或者使用了回答问题所需要的所有方面或者其中的几个方面的信息，甚至能够在其中建立起两两之间的相互联系，但是对于这些信息的使用仍然是孤立的但还没有能将它们进行有机整合的能力。

4）关联结构（relational）：学生能够抓住并使用回答问题所需要的全部信息，并且能够将这些方面进行综合和概括，形成一个统一的整体。不会将问题置于更一般的、更广阔的情境中进行考虑或者对问题提出质疑。

5）拓展抽象结构（extended abstract）：学生能够在关联的基础上，联系与问题相关的所有影响系统（包括问题中没有直接提到，但是有影响的系统），将问题置于一个更为广阔的情境中，对问题进行全面的思考以及更高水平的概括和归纳这代表一种更高层次的学习能力，这一层次的学生表现出更强的钻研和创造意识。

3.运用SOLO分类理论指导切线判定教学

从SOLO分类理论的五个层次来看，学生对圆的切线判定的认识的思维层次可大概认为处于这五个层次。第（1）种回答的学生就处于前结构层次，大脑中没有任何关于切线判定的知识。第（2）种回答的学生处于单点结构层次，只抓住垂直这一条件，忽略了其他条件。第（3）种回答的学生处于多点结构层次，可以解答直线与圆有公共点的这一类基础的切线判定问题。第（4）种回答的学生处于关联结构层次，对于先对容易的切线判定问题一般都可以解决，但由于缺乏深层次的思考，对于复杂一些的问题则无法解决。第（5）种回答体现了学生的抽象思维能力，能够对如何证明切线进行深入的思考，探究，这一类学生有清晰的分析思路，可以将已知条件与要证明的结论之间产生联系，可以解决复杂的切线判定问题。

基于上述分析，我们可以遵循SOLO分类理论组织教学，在教学中，我们应引导每个结构层次学生的思维能力向更高一级转化，下面将通过具体的例子进行阐述。

例1.如图1，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB，求证：AT是⊙O的切线。

解析：本题相对简单，半径OA已经存在，只需根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠T=45°，再根据三角形内角和定理得到∠BAT=90°，及AT⊥AB，从而得到AT是⊙O的切线。对于单点结构层次的学生解决容易解决这道题。对于前结构层次学生，由于他们大脑中毫无切线判定的知识，先引导他们回顾课本，分析切线判定的条件，然后再解决这道题。

例2.如图2，以等腰中的腰为直径作⊙，交底边于点。过点作，垂足为。求证：为⊙的切线；

解析：这道题由于半径不存在，单一结构层次的学生不容易，则引导他们在半径不存在的情况下先连接OD（如图3），再证OD⊥DE，本题证明∠ODE=90°的方法较多。常用的两种方法如下：方法一，利用等腰三角形等边对等角的性质即等量代换得到∠C=∠ODB，从而得到AC∥OD，再根据两直线平行，内错角相等，得到∠ODE=90°；方法二，得到∠C=∠ODB之后，由三角形内角和定理得∠C+∠EDC=90°，根据等量代换得到∠ODB+∠EDC=90°，最后由平角的定义得∠ODE=90°。本题在证明过程中需要先添加辅助线，所涉及的知识点较多，多点结构层次学生一般可以完成，而单点结构层次学生在教师的引导下才可以解答。

例3.如图4，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。

解析：本题属于切线判定中第二大类题型“作垂直，连半径”，过D作DF⊥OA，再根据角平分线性质定理得DF=DE.但对于多点结构层次学生来说，会在图中添加点F，然后连接DF，再证明DF⊥OA，这一类学生错误使用了判定定理，忽略了直线经过半径外端这一条件，教师应让学生回顾到切线的定义本身，让学生意识到除了判定定理本身之外，还可以使用定义法判定，遇到题目时能够分析题中的条件，选用不同的判定方法，这上升到关联结构水平。

例4.如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.判斷直线l与⊙O的位置关系，并说明理由。

解析：本题难度较大，首先连接OE交BC于G，题中未给出有关90°的角，此时教师引导学生回顾例2的解法，比较两种解法发现，第一种解法较为简单，究其原因，题中出现了90°，而给出的90°角与要证明的90°角之间为内错角，所以考虑证明两直线平行，由此可得出结论：在已知直线与圆有公共点的情况下，看题中是否存在90°，若存在，则观察已知角和待证明角之间的位置关系，然后进行进一步转化。再看到这道题，虽然题中未给出90°，但已知直线l∥BC，则思考能否证明∠BGO=90°，这是发现题中已给条件AE平分∠BAC，根据圆周角定理知∠BOE=∠COE，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠BGO=90°。这道题属于拓展层次结构水平，通过教师的引导，学生对切线证明的思路进一步得到提升，从而在题目的分析和归纳中达到拓展结构水平！

4.结语

从以上案例分析可以看出，从前结构水平到拓展抽象结构水平， SOLO 分类评价理论提供了一种一次递增的结构来测量学习质量的方法，把不同的学生指向不同的认知水平，有利于教师掌握学生的已有知识水平，学习能力。教师在教学中可以根据这样一中结构层次通过设计相应的例题将学生一步步引导上更高一级的层次水平。

[ 参 考 文 献 ]

[1]Biggs，J. Teaching for Quality Learning at University，Society for Research in Higher Education， Open University Press. 1999.

[2]王敏. SOLO分类评价理论在化学试题设计中的应用.2009.

[3]李英杰.SOLO分类评价理论在阅读能力评价上的应用.首都师范大学学报，2006.

[3]官庆源.圆的切线的判定方法.中学生理科月刊，1995.