浅谈“二次型”在高中数学中的应用

吴明廉

摘 要：高中数学很多考察模块中都含有“二次型”，我总结了几个类型题供参考，主要有求解不等式，求参数取值范围，求数列的最大项，求函数值，恒成立问题，方程的根的个数，单调区间问题等。

关键词：“二次型” 一元二次方程 二次函数

纵观高中数学的教学过程，我发现在高中的解不等式、指数函数、三角函数、数列、极值、值域、单调性等多个领域都有广泛应用。本文中所提到的是广义范围内的，包括二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。很多同学在高中的数学学习过程中，由于不掌握解题的关键，无法完美解决问题。针对这类现象，我急学生所想，急学生所急，积累了几个例子，配以详细的分析解答过程，以期和大家共勉。

[例1 ]已知不等式ax+bx+c<0（a≠0）的解为x<2，或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解

分析：此题要结合二次函数y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考虑二次函数的图象，一元二次方程的根，结合韦达定理找到系数a，b，c之间的关系，在通过化简整理的过程，从而达到解出不等式bx+ax+c>0的目的。

解：由不等式ax+bx+c<0的解为x<2，或x>3，可构造相应二次函数y=ax+bx+c，借助图象可知a<0，且二次方程ax+bx+c=0的两根分别是2和3，由韦达定理=5，=6可得b=-5a，c=6a，不等式bx+ax+c>0可变为-5ax+ax+6a>0，由于a<0，<0，除以整理得5x-x-6>0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解为x<-1，或x>。

[例2 ]若关于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有实数解，则实数a的取值范围是（ ）

A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]

分析：此题通过三角函数公式把cosx化归为sinx形式，观察出以sinx为主要元素，构造一个以sinx为主的二次函数，通过配方法，再通过换元法，结合二次函数的图象求出二次函数的最大值、最小值。

解：因为，以sinx为主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用换元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）图象开口向下，由t的范围可知当t=时a有最大值为，当t=-1时a有最小值为-2。选择B。

[例3 ]数列{-2n2+29n+3}中的最大项是（ ）

A、107 B、108 C、108 D、109

分析：此题观察表达式可看出符合“二次型”，构造以n为自变量的二次函数，通过配方找到离二次函数的对称轴最近的正整数n的值，结合二次函数的图象得到最大项的值。

解：数列的通项配方得an=-2n2+29n+3=-2（n-）2+…因为n必为正整数且考虑二次函数对称轴为=7可知正整数7离二次函数的对称轴最近，∵图象开口向下∴当n=7时得最大项a7=108选择B。

[例4 ]已知数列{an}的前n项和sn=n2+2n+5则a6+a7+a8=。

分析：此题观察表达式可看出符合“二次型”，构造二次函数，代入自变量x的值构造出s8和s5，通过代入求值，再作差得出结论。

解：s8-s5=（82+2×8+5）-（52+2×5+5）=45

[例5 ]已知数列{an}的前n项和sn是n的二次函数，且它的前三项依次是-2，0，6，那么a100=

分析：此题明确指出存在二次函数的条件，提示我们设出二次函数的表达式，通过代入已知数值求出系数a，b，c，确定下来sn，再用数列的性质解出答案。

解：设sn=a·n2+b·n+c（a≠0）代入s1=-2，s2=-2，s3=4解得a=2，b=-4，c=0∴sn=2n2-4n因为s100-s99=a100∴a100=（2×1002-4×100）-（2×992-4×99）=394

[例6 ]已知当0≤x≤3时m≤x-2x+2恒成立，求m范围

分析：此题可看出题干中x-2x+2符合二次函数的形式，提示我们设出一个对应的二次函数，和一个常函数，先在坐标系中画出二次函数的图象，求出二次函数的值域，再结合已知条件的恒成立的要求可得m的取值范围。

解：构造二次函数y=x-2x+2，0≤x≤3，和常函数y=m，先画出y=x-2x+2，0≤x≤3图象，开口向上因为0≤x≤3，可知当x=1时y有最小值y=1，当x=3时y有最大值y=5，得到1≤y≤5，再画出y=m图象为水平横线∴m≤1。

[例7 ]对于m的不同取值，讨论关于x的要求方程x-4|x|+5=m的实数根的个数。

<解析>：此题可看出方程的左侧x-4|x|+5符合“二次型”的形式，构造函数y=x-4|x|+5，和y=m，两个函数图象的交点的个数就是方程实数根的个数。先画出二次函数y=x-4x+5的图象，截取y轴右侧的图象，再关于y轴对称画出y轴左侧的图象，注意x=0时y=5，且最小值y=1。把坐标系中的函数y=x-4|x|+5的图象看成背景布，接下来使用运动变化的观点作为指导思想，从上至下画出y=m的图象，观察两个图象的交点个数如何变化。先是有两个交点，再是有三个交点，再到有四个交点，再到有两个交点，最后到没有交点。综上所述可知1）.当m>5或m=1时两个图象有两个交点，方程有两个解；2）.当m=5时两个图象有三个交点，方程有三个解；3）.当1

[例8]已知函数y=，求函数的单调区间。

<解析>：此函数是一个复合函数，由y=，和u=x复合而成，∵底数<1，函数y=为减函数，对于二次函数u=x开口向上，结合图象可知，当x≤0时二次函数u=x单调递减，由复合函数单调性法则：同増异减∴当x≤0时函数y=为增函数；当x>0二次函数u=x单调递增，∴x>0时，函数y=为減函数，从而可得到单调区间，单调递增区间为，单调递减区间为。

以上几个例子包括了高中数学各个模块常见的“二次型”的类型题，较为浅显，意在辅助学生理解应用。