中职高考数学研究之函数

王斌

摘 要：中职高考数学函数部分不但在高考中占有很大的份额，而且是今后学好数学的基础，函数有很强的数学特点，本人将对函数研究所得，从几个方面加以诠释，希望为教育者和受教育者提供一些帮助。

关键词：函数；定义域；值域；图像；性质

函数是数学的重要的基础概念之一。包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。中职高考数学中，函数占有百分之四十的份额，是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在函数的学习中获得较为系统的函数知识。本人在此把幂函数、指数函数、对数函数研究所得，与大家分享一下。

一、函数概念发展简史

函数的发展过程也是一个漫长，不断发展的过程，从17世纪最早的几何意义下的函数概念，到18世纪代数概念下的函数概念，到了19世纪发展到了对应意义下的函数概念，直到康托的集合论产生之后，才发展到现代的集合论下的函数概念。在中国，直到清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次把“function”翻译成“函数”，此译名沿用至今。对为什么翻译成函数，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则称此为彼之函数”。

二、函数的主要知识点

函数的概念经过几个世纪的沉淀、完善才确定下来，定义中的每一句话都至关重要，定义中指明了自变量的范围，指出了函数值的范围，更强调了“此变数中函彼变数”，即为我们今天所说的函数“三要素”。对函数的定义要字斟句酌，这是学习函数的敲门砖，只有真正理解了，才能学好数学，研究函数的套路基本上都是一样的。

（1）函数名称。

（2）函数定义域、值域。

（3）函数图像。

（4）函数性质（单调性、奇偶性）。

而在具体学习过程中，记住函数的解析式，记住函数的图像，学会看函数的图像，就可以观察出函数的定義域、值域及函数的性质。所以学习函数必须掌握函数与图像的关系，理解“满足函数关系式y=f（x）的x、y做为坐标（x，y）所对应点都在函数的图像上，函数图像上的点的坐标（x，y）都满足方程y=f（x）”。

（一）幂函数

1.幂函数：[]（其中a是不为0的常数）。

2.函数的定义域、值域因a的值不同而不同，下面把常用的几个幂函数的图像画出来如下图，函数的性质可从图像上观察出来：

（1）f（x）=x；

（2）[f（x）=x2]；

（3）[f（x）=x3]；

（4）[f（x）=x-12]；

（5）[y=x-13]；

（6）[y=x12]；

（7）[y=x13]。

由图像可以看出来，如（1）f（x）=x的图像是过一、三象限及原点的一条直线，横向看是两端无限延长的、连续的，所以它的定义域是全体实数，纵向看出是连续、无限延长的所以值域也是全体实数。

函数f（x）=x的图像是关于原点对称的，所以，函数是奇函数。图像自左向右是上升的，所以，函数是定义域内的增函数。如（6）[y=x12]函数的图像横向上看，它只在x轴的正半轴上方有图像，所以函数的定义域是x≥0的全体实数，纵向看，函数只在y轴的右方有图像，所以，函数的值域是y≥0的全体实数。函数的图像不对称，所以，函数不具备奇、偶性。函数的图像是定义域内上升的，所以，函数是定义域内的增函数。

（二）指数函数

1.指数函数：[f（x）=ax]（a>0且a≠1）。

函数的定义域是x∈R；值域是y>0。

2.函数的图像有两类：

如图a>1是一类，图像左方向下无限接近x轴但不相交，右方向上、向右无限延长；另一类是a<1，图像右方向下无限接近x轴，但不相交，左方向左、向上无限延长。从图像上可以清楚看出，无论a>1还是a<1，函数横向都是向两端无限延长，所以，函数的定义域是全体实数，纵向看，图像都是在x轴上方，所以，值域是大于0的全体实数。

3.从函数的图像上看，图像不对称，所以，函数不具备奇、偶性；a>1时，函数图像是上升的，所以，是增函数；a<1时，函数的图像是下降的，所以，函数是减函数。

（三）对数函数

1.对数函数：[fx=logax（a>0且a≠1）]。

2.对数函数的定义域是：x>0，的全体实数，值域是y∈R。

3.对数函数的图像是：

如下左图，一类是底a>1的图像，一类是底0

4.对数函数的性质：从图像很容易看出，对数函数不具备奇、偶性。当底a>1时，函数是定义域上的增函数；当底0

三、函数部分的主要考点

函数在中职高考数学中占有重要的地位，所以，在高考中所占的份额也较大，主要有以下几种题型：

1.求函数的解析式及函数值。

如例1.已知指数函数图像经过点（2，9），求函数的解析式并求f（-1）、f（3）的值。

解析：这类题首先要记住函数的解析式的形式，本题是指数函数

解析式是[f（x）=ax]，只要求出了底[a]，就求出了函数的解析式。函数图像过点（2，9），代入解析式，就可求出底[a]其它两类函数也是这样求解。

解：指数函数的解析式为[f（x）=ax]，函数图像过点（2，9），

则有[f2=a2=9]，所以，a=3，指数函数解析式为[f（x）=3x]。

所以[f-1=3-1=13F3=33=27]。

2.求函数定义域。

例2.求函数的定义域：

[fx=3x-2+6+x-x2-lgx-1+（x+1）0]。

解析：中职数学高考题的第21题，也就是第一个大的计算题就是求函数的定义域，求函数的定义域一般考虑五个问题：①分母不为0；②偶次根号下非负；③零次幂的底不为0；④对数的真数大于0；⑤实际意义。函数的定义域就是求各部分的交集。

解：

由题知[x-2≠0 6+x-x2≥0x-1>0 x+1≠0 ]，解之得：[x≠2 -2≤x≤3x>-1 x≠-1 ]

函数的定义域是：x∈{x|1

3.求值的变化范围。

例3.已知指数函数[f（x）=2x]的函数值[f（x）]满足1≤[f（x）]≤4，求：自变量x的取值范围。

解析：此类题就是考学生对指数函数图像的观察理解，函数值满足1≤f（x）≤4，即是用直线y=1和直线y=8去截指数函数[f（x）=2x]的图像，看截得的部分对应于x轴的范围，就是自变量的取值范围。其它两类函数的题也是类似方法解决。

解：由右图可知：

函数值f（x）满足1≤f（x）≤4，

自变量的范围是0≤x≤2。

函数部分有很强的数学特性，应仔细研究，认真体会，可以说，只有学好函数，才能学好数学。

参考文献：

[1]李广全，李尚志.数学[M].高等教育出版社.

[2]袁振国.当代教育学[M].教育科学出版社，2004.