Hom-Jordan李代数的T*-扩张

李 强, 马丽丽, 韩 旸, 张 敬

(齐齐哈尔大学 理学院, 黑龙江 齐齐哈尔 161006)

1 引言与预备知识

δ-Jordan李代数[1]是李代数的推广. 当δ=1时,δ-Jordan李代数即为李代数. 关于δ-Jordan李代数的研究目前已有很多结果. 文献[2]运用δ-Jordan李三系构造了一类单Jordan超代数; 文献[3]证明了δ-Jordan李代数的Engel定理. Hom李代数[4]是另一类广义李代数. 当Hom李代数的扭曲映射为恒等映射时, Hom李代数即为李代数. 目前, Hom李代数的研究也取得了很多成果[5-7]. 文献[8]给出了李代数的T*-扩张理论, 并指出T*-扩张是研究代数结构的重要方法; 文献[7]定义了Hom-Jordan李代数的T*-扩张. 本文在文献[7]的基础上继续研究其性质. 若无特殊说明, 本文符号均与文献[7]一致.

定义1[7]设(L,[·,·]L,δ,α)是Hom-Jordan李代数. 对L上的双线性型f, 如果

L⊥={x∈L|f(x,y)=0, ∀y∈L}=0,

则f称为非退化的; 如果f([x,y],z)=f(x,[y,z]), 则f称为不变的; 如果∀x,y,z∈L,f(x,y)=f(y,x), 则f称为对称的. 对子空间I, 如果I⊆I⊥, 则I称为迷向的.

定义2[7]设(L,[·,·]L,δ,α)是Hom-Jordan李代数.

1) 若α为同态, 即任取x,y∈L, 均有α([x,y]L)=[α(x),α(y)]L, 则Hom-Jordan李代数L称为保积的;

2) 若α(η)⊆η且∀x∈η及∀y∈L, [x,y]L∈η, 则子空间η⊆L称为(L,[·,·]L,δ,α)的Hom-理想.

定义3[7]设(L,[·,·]L,δ,α)是域 F上的Hom-Jordan李代数. 若L具有非退化不变对称双线性型f, 则称(L,f,δ,α)为度量Hom-Jordan李代数.

命题1[7]设(L,[·,·]L,δ,α)是Hom-Jordan李代数, ad是伴随表示,ω:L×L→L*是双线性映射. 假设余伴随表示π存在, 即∀x,y∈L,π(x)(f)(y)=-δf∘ad(x)(y). 对于向量空间L⊕L*, 定义运算和线性映射如下：

[x+f,y+g]L⊕L*=[x,y]L+ω(x,y)+δπ(x)g-π(y)f,α′(x+f)=α(x)+f∘α.

则(L⊕L*,[·,·]L⊕L*,δ,α′)是Hom-Jordan李代数当且仅当ω是2-上圈:L×L→L*, 即ω∈Z2(L,L*).

定义4[7]设L是域 F上的Hom-Jordan李代数. 定义一个导出序列(L(n))n≥0:L(0)=L,L(n+1)=[L(n),L(n)]; 一个降中心序列(Ln)n≥0:L0=L,Ln+1=[Ln,L]; 一个升中心序列(Cn(L))n≥0:C0(L)=0,Cn+1(L)=C(Cn(L)). 其中若I是L的子空间, 则定义C(I)={a∈L|[a,L]⊆I}.

L称为可解的和幂零的(长度k)当且仅当存在(最小)整数k, 使得L(k)=0,Lk=0.

2 主要结果

证明： 对n用归纳法. 显然,n=0时成立. 下面设n>0. 由δ-Jordan李代数的Engel定理[3]知, 存在非零元v0∈V, 使得∀φ∈L,φ(v0)=0. 下面分两种情形讨论.

情形1)W≠0或存在非零L-不变向量v∈V(即L(v)⊆Fv), 使得q(v,v)=0. 因为q(w,φw⊥)=δq(φ+w,w⊥)=0, 则 Fv是非零迷向L-不变子空间, 且W⊥是L-不变的. 定义双线性型:

易证W⊥/W是度量的. 设p:W⊥→W⊥/W是自然投射, 并定义

由W和W⊥均为L-不变子空间可知,φ′的定义合理. 令L′={φ′|φ∈L}, 则L′是δ-Jordan李代数. 若φ∈L存在m∈+, 使得φm=0, 则(φ′)m=0. 断言L′具有L的性质. 事实上, ∀x⊥,y⊥∈W⊥及∀φ∈L, 有

从而(φ′)+=(φ+)′∈L′.

若x⊥,y⊥∈Wmax, 由q(x⊥,y⊥)=q′(p(x⊥),p(y⊥))=0可知,Wmax是迷向的. 注意到

+dimW=[n/2],

情形2)W=0且对任一非零L-不变向量v∈V满足q(v,v)≠0. 显然 Fv0是V的非退化L-不变子空间. 由

q(φ((kv0)⊥),v0)=δq((kv0)⊥,φ+(v0))=δq((kv0)⊥,0)=0, ∀φ∈L,

定理3设(L,q,δ,α)是维数为n的幂零度量保积Hom-Jordan李代数, 基域 F的特征不为2. 若J是L的迷向Hom-理想, 则L中存在一个包含J的极大迷向Hom-理想I, 且其维数为[n/2]. 若n为偶数, 则L等距同构于L/I的某个T*-扩张; 若n为奇数, 则I⊥是交换的, 且L等距同构于L/I的某个T*-扩张非退化的余维数为1的Hom-理想.

证明： 记adL为L上全体伴随表示构成的δ-Jordan李代数, 则adL与定理2中的L性质相同. 由于J是L的迷向Hom-理想, 于是J是L的迷向adL-不变子空间, 且α(J)⊆J, 从而存在包含J的极大迷向adL-不变Hom-理想I, 使得α(I)⊆I, dimI=[n/2].

若n为偶数, 由定理1, 则L等距同构于L/I的某个T*-扩张； 若n为奇数, 由定理2, 则dimI⊥-dimI=1, adA(I⊥)⊆I. 考虑到Z(I)=(adL(I))⊥, 则I⊥⊂(adL(I⊥))⊥=Z(I⊥), 于是I⊥是交换的.

[x+ka,y+k′a]=[x,y],qA′(x+ka,y+k′a)=qA(x,y)+qa(ka,k′a).

则(L′,qA′,α′)是幂零度量保积Hom-Jordan李代数. 事实上,

且L是L′的余维数为1的非退化Hom-理想. 由于I⊥是非迷向的, 且 F是代数闭域, 则存在z∈I⊥, 使得qA(z,z)=-1.

设β=a+z,I′=I⊕Fβ, 则I′是L′的(n+1)/2维迷向Hom-理想. 事实上, 任取x+k1a+k1z,y+k2a+k2z∈I′, 则有

由定理1知,L′等距同构于L′/I′的某个T*-扩张. 证毕.

由于I⊥是交换的, 且adL(I⊥)⊆I, 从而Φα=αΦ. 于是Φ是满射, 且KerΦ=I′, 因此L′/I′≅L/I. 下面考虑L/I的幂零长度.

命题2设(L,q,δ,α)是有限维度量保积Hom-Jordan李代数.

1) 对任意子空间V⊆L,C(V)∶={x∈L|[x,L]⊆V}=[L,V⊥]⊥;

2)Ln=Cn(L)⊥, 其中:C0(L)=0;Ci+1(L)=C(Ci(L));

3) 若L是幂零的且其幂零长度为k, 则Li⊆Ck-i(L).

证明： 等式q(C(V),[L,V⊥])=q([L,C(V)],V⊥)⊆q(V,V⊥)=0表明C(V)⊆[L,V⊥]⊥. 反之, 由

q([L,[L,V⊥]⊥],V⊥)=q([L,V⊥]⊥,[L,V⊥])=0,

可得[L,[L,V⊥]⊥]⊆(V⊥)⊥=V. 因此[L,V⊥]⊥⊆C(V), 故1)成立. 由归纳假设易知, 2),3)成立. 证毕.

由文献[9]中注4.1可得以下结论：

命题3设代数闭域的特征不为2的有限维幂零度量保积Hom-Jordan李代数(L,q,δ,α), 且α(L)=L, 则(L,q,δ,α)等距同构于幂零保积Hom-Jordan李代数的T*-扩张(或余维数为1的非退化理想), 且后者的幂零长度不超过前者的1/2.

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