小学数学“数形结合”的内涵与实践

安徽省马鞍山市山南小学 俞洁文

华罗庚先生在一首小诗中写道：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休！”“数形结合”思想对基础教育界产生了深远的影响，成为教育者思考问题的模式。小学是培养学生“数形结合”思想的良好阶段，培养学生数形结合应用意识，让学生认识到生活中蕴含着大量和数量与图形相关的问题，能运用数形结合方法将二者相互转化。

一、小学“数形结合”的课堂表达特点何在

梳理人教版（2015）小学数学教材涉及的“数形结合”内容，精选典型教学素材加以归类，通过对内涵以及价值取向深度思考，形成了数形结合思想课堂表达的特点，逐一阐述如下：

1．特点一：内容分类

教材涉及的“数形结合”内容大致分类如下：①数的认识。如借助数轴、直尺、图形、统计图认识分数、小数等；②计算算理。如笔算乘法、分数加减乘除计算等；③运算定律。如乘法运算律等；④认识图形。如平面图形、几何体面积、周长计算公式等；⑤函数思想。如正反比例函数图象的发展趋势、弯曲程度等；⑥典型问题。如植树问题等；⑦探寻规律。寻找数与形的变化规律，如和的奇偶性、数与形等。

2．特点二：内涵界定

小学数学数形结合是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。（1）研究的基本对象。即“数”与“形”，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征，有效地解决问题。（2）研究的基本方法。“数形结合”方法的实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形结合起来进行思考。以形解数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，形为手段，数为目的；以数助形——借助数的简洁性和概括性来提炼事物（图形）的本质，数为手段，形为目的。

3．特点三：价值取向

小学数学课堂通过具体知识内容的教学，学生能看到什么？感悟到什么？小学数学课堂应该让学生带走哪些能力？运用“数形结合”教学追求“培养学生敏感主动的数形结合意识，发展学生的形象思维与逻辑思维，增强学生解决问题的灵活性，全面提升学生的数学素养”。

二、数形结合的课堂表达根植何处

数形结合的课堂表达如何突显“数与形”的密切联系？如何实现形象思维向抽象思维的转化？

1．关注直观到抽象的过渡

起始年段的数学教学中，学生往往通过实物数量、几何图形个数、数字符号逐步抽象概括出数，把握好由形象直观到抽象概括的“分寸”尤为重要，教学中应该有坡度逐步过渡。如：一年级“大于号、小于号的认识”。大于号、小于号形状相似，方向相反，难以记忆。除了用口诀 “大于号，开口朝着大数笑；小于号，尖尖快把小数找” 记忆之外，图1由“实物呈现”，到图2转变为由“形代替实物”的“图形呈现”，最后转为“符号呈现”。在图2中，大于号的“形”与用数描述的式子“5＞4”完美结合，实现了思维的质的三度飞跃。

2．理解数形结合表现形式

问题解决往往需要从众多信息中选取有效信息，分析思考信息之间的关系。用数学语言画图的方式描述问题信息，可以把信息的抽象叙述变为直观呈现，达到化繁为简、化难为易的目的。（1）线段图表达形式。如：上午卖出鸡蛋总数的一半多10个，下午又卖出余下的一半多10个，最后还剩下65个鸡蛋。李奶奶原有鸡蛋多少个？

图3用线段图形象生动地描述还原了问题，使问题的解决得以简单化。

如图4，把正方形看作1，几何图形描述等比分数和的求法，体现极限思想。

3．促进数形结合有机融合

引导学生在任务情境中提出和形成问题，通过数形结合有机融合解决问题。如《多边形的内角和》通过目标不断转化发现、收集和利用信息，权衡不同方案，产生新想法解决问题，将多边形转化成已经学过的三角形求内角和。以下以探究五边形内角和为例。

方法1：在五边形中心取一点，与五边形的顶点相连形成5个三角形，观察五个三角形的内角和，与原来五边形内角和相比多出了一个周角，所以五边形内角和为180°×5-360°=540°。

方法2：在五边形任意一条边上取一点，与这条边不相邻的三个顶点相连，形成4个三角形。观察4个三角形的内角和，与原来五边形内角和相比多出了一个平角。所以五边形的内角和为180°×4-180° =540°。

方法3：从五边形任意一个顶点出发，与这个顶点不相邻的两个顶点连接，将五边形分割成3个三角形。观察3个三角形的内角和就是这个五边形的内角和。所以五边形内角和为180°×3=540°。

比较三种方法，将五边形转化成三角形，3个三角形的内角和就是这个五边形的内角和，直接用180°×3=540°，得出多边形的内角和＝180°×（边数-2）。

数形结合是培养学生数学素养的有效途径，课堂中的教学实践是数形结合思想落地的保障，而课堂表达的实质是创造，我们期待数形交融，引领学生研究与交流、引领学生的思考与实践。