做有意义的数学练习

浙江省丽水市庆元县蔚文学校小学部 胡新强

数学练习是数学教学活动的重要组成部分，但我们习惯去重复流水线的数学练习，在难题上去提升知识点的应用，在重点练习上去猜测考点，而忽视数学练习本身的系统性价值，缺少对练习的深入理解。在设计上缺少目的性，在目标上缺少层次性，在操作上缺少多元性。有意义的数学练习应更关注知识巩固、能力培养、思维训练，从设计到操作，每个目标都要有落脚点。采取 “起点低而实，中有突破，后有发展”的思路设计数学练习系列。缺乏经历知识形成过程的练习是难以巩固的。有意义的数学练习当然更强调巩固知识，每个数学练习必有其知识点或知识的本质在其中，把一些数学知识的形成过程用算式、语言、图形等方式表示出来，特别是及时检测每节课的知识是很有必要的。

例如“两位数乘两位数”与例题匹配的练习必须及时，做到理解算理，掌握算法。算法只是通法的统一和规范，而算理才是知识的本质。设计练习时让学生再次独立经历算理过程是有必要的。如：“21×43”计算过程，设计匹配算理的练习：

一、数学练习的起点是知识的巩固

1．关注知识的本质性

知识的巩固是数学练习的起点，它是知识掌握过程中对所学材料的持久记忆，是积累知识的前提，有赖于领会和经历知识的产生过程，

因此：21×43可以分为：21×（ ） + 21×（ ）=903。

再次经历21×43的算理过程，即巩固了两位数乘两位数的算理，又有对后续的乘法分配率、组块计算等学习做准备的作用。

再如：在巩固“平行四边形”这个概念时，有效的数学练习应在平行四边形的概念理解上，一直以来，我们直接在四边形的图形上去判断是否为平行四边形，而忽视平行四边形知识的本质。平行四边形是在几组平行或相交线中抽象出来的，这个动态的概念理解，线到面的过程理解，经验不够丰富。如：请在图中“勾画”出平行四边形，这样的数学练习就可让学生再次经历平行四边形的抽象过程。

2．关注知识的生长性

知识不仅有其内在的逻辑性，也具有生长性。知识的生长性表现为对知识的应用和提高，它是建立在对已有知识追其本质，不断内化的基础上的。知识的前后延长才能更有效地巩固知识，拓宽知识点的数学练习就非常必要了。如教学笔算两位数乘两位数的难点是部分积的对位，这其实是算理理解仍有偏差或仍有认知的内化过程不足，必须跟上巩固性练习，有效地把练习再次分类，促使知识不断内化。

可见，把更多的时间花在“温故”上，把知识本质理解透了，把握好数学练习的起点，扎实巩固知识，保证知识的生长性，才能为新的知识产生做准备，这样的数学练习才是有意义的。

二、数学练习的节点是数学能力的培养

克鲁捷茨基在他的权威著作《中小学数学能力心理学》中从一般能力出发来研究数学能力：“从两个方面来看待数学能力的概念：（1）看作创造性的能力——科学的数学活动方面的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会做出有价值的贡献。（2）看作一般学习能力——学习数学的能力，迅速而顺利地掌握适当的知识和技能的能力。

数学练习的目的是巩固知识，不是增加知识点，也不是延长教学时间，而是以坚持数学能力培养为重。笔者所理解的数学练习的“节点”是数学练习的过程，在练习中形成数学能力，练习时在知识应用的深度、广度、灵活度上有所拓展，有意义的数学练习过程应突显数学能力的培养。

1．过程与能力

让学生在数学学习活动中去经历过程，例如：“用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样使得体积较大？用一张长方形纸作为圆柱的侧面，怎样做圆柱体积大？在这样的数学活动过程中，学生不仅能够获得知识，而且不断丰富数学活动经验，学会探索，发展数学能力。

数学练习或数学作业不一定是当天完成的，时间长短不是问题，数学不一定是做的，也可以是读的。数学科普、数学绘本、数学故事书，多一些数学阅读，也是增强数学素养的一种方式，更是一种数学能力。获取数学知识的过程时间可以长，范围可以广，方式可以灵活多样，这样获取数学练习的过程就是数学能力形成的过程。

2．思想、语言与能力

数学练习不能只关注练习的答案表示，也要关注获得答案表现出的各方面能力，比如数学思想、数学语言，让学生充分表达解决问题所表现出的各种能力。如：北师大《摸球游戏》这一课，笔者在课前设计了一道题：1+（ ）=?既预习“不可能、可能、一定”等概率描述方式，又感知可能性有大小之分。如：这个式子可能等于1、2、3…,在未知负数的前提下，这个得数“一定”大于或等于1，再得出大于1的“可能性比较大”。这个过程其实已有感知到概率与事件样本有关。学生在描述前必须举个例子，给定条件解释，给定样本，让学生充分感知事件的变化所带来的概率变化，并养成良好的数学语言表达能力。

在“分数的认识”这一课，设计一个随机分近似1/2的图形，问：阴影部分能不能用1/2表示？不但巩固了1/2的产生过程，而且关键是能培养学生辩证的数学能力，用“如果…就…”等句子来辨析自己的思考：如果阴影和空白部分面积相等，就可以用1/2表示阴影部分占总面积的关系。在数学中，辩证的数学能力是相当重要的，这样可以排除学生的一些偏差数学认识，养成严谨的数学思考习惯，在数学练习中要经常去挖掘这样的练习素材，让练习赋予数学能力提升的价值。

三、数学练习的亮点是思维的训练

1．数学的思维表达

数学练习的思维量往往成为其亮点，数学练习在内容上要尽量设计一些思维含量高的题目，也要做到尽量去挖掘普通题的数学价值、思维价值，做到一题多角度看、一题变式练，让学生充分享受题目带来的数学思维过程。教师要学会挖一挖题目数学意义的深度和角度，想一想题目的数学价值，做一做题目的数学思维过程。教师要有敏锐的数学观察，静一静、等一等、试一试，让学生在时间和空间上有机会去做一些有意义的数学练习。

2．思维的数学表达

数学对人思维方式的训练是其他任何学习所不具备的。数学思维方式的特点就是将具体的问题归结为模式化的数学问题，并用数学的方法寻求解决，它帮助我们透过具体的、表面的现象，揭示事物的本质的、共同的特征。

比如极限的思想，在小学阶段，学生很难去表达该思维过程，只可意，会不可言传。在学习过程中，从学生已有知识出发，促进数学思考，加强数学方法训练，提高学生的思维品质。学生平时在一起玩的时候，经常爱说我有“多少多少”，比你的大。在这个过程中，学生总想说比别人更大的数，如“我有1亿”，亿是他知道的最大的计数单位，我说：我有1亿+1，比你多。在这样拌嘴的过程中，学生慢慢理解了没有最大的数，也没有最小的数，如果要提最大最小的数，一定要加一个范围。这样的思维方式在数学学习中大有例子，如何让学生用数学的方式去表达自己的思维过程，这需要我们在设计数学练习时有意渗透，多利于学生在思维品质提高的练习上下工夫，做好设计有意义的数学练习的功课。

数学学习过程中，思维表达方式或是通过形体动作，或是通过语言，或是通过图画、文字、符号。学生只有将数学学习过程中的思维外化表达，才能“出乎于内，入乎其中”，真正理解数学知识、构建数学模型。仅会思维，不会表达，思维没有外化，久而久之，知识就会模糊。会数学思维，会数学表达，两种缺一不可。

总之，有意义的数学练习首先要目标明确，为达到目标而服务；其次要有整合的意识，尽可能挖掘其多层的内涵，根据需要向多维拓展，还要有一定的教学机智，组织学生更好地思考。在数学练习过程中促进数学思考，促进智慧生长。

【参考文献】

[1]张景中．数学家的眼光[J]．北京：中国少年儿童出版社，2007（8）．

[2]史宁中、孔凡哲．“数学教师的素养”对话录[J]．人民教育，2008（21）．