对一道微分方程通解的质疑的解释的思考

安徽省合肥幼儿师范高等专科学校基础部 张海涛

寇冰煜、张燕、毛磊三先生在文献[1]中对一阶线性非齐次微分方程通解的质疑做出了两点解释，乍一看，似乎与文献[2]所提观点相左，但究其实质是从另一个侧面印证了文献[2]的观点，那就是一阶线性非齐次微分方程通解：表达形式不严谨。

理由如下：

2.根据函数思想，将具体的p(x)和Q（x）代入文[3]所给的通解表达式中得出具体题目的通解，也是顺理成章的事。因为所给出的通解形式中借用了不定积分的形式，所以立即从不定积分的角度对这一结论进行了质疑：每次选取C的值未必一定对应相等，即未必有C2=C3的结论，从而得到结论“通解形式不严谨”，也是无可厚非的。诚然，寇冰煜等的解释也是言之成理的，但只能算作是对通解形式的一个补充解释而已，这对于刚刚学习微积分的学生而言是不能够理解的，而且此解释是一种事后解释，一种自圆其说的解释，说勉强也不为过。笔者认为文献[3]应在给出其通解形式的同时，做出必要的说明，如寇冰煜等所说的，还有可能被学生接受，否则容易诱导学生养成不严谨的习惯。以上问题的根源在于这种通解形式不严谨，换言之，就是这种用不定积分表示的通解不是我们平常意义上的通解，而是其广义上的通解，未必都适合方程。

3.寇冰煜、张燕、毛磊三先生在文献[1]中提到：

考察一下可分离变量的微分方程

的通解问题，根据微分方程的初始值问题的解的存在性和唯一性定理，对于定义域中的每一点方程（4）有且只有一个以为初始值的解。按常规方法，分别考察2种情况：

由此，得到的方程一阶线性非齐次微分方程

任意常数）。

这也就说明了文献[1]开始所提到的，公式中的所有带有不定积分符号的计算结果其实都是某一特定的原函数，即只是将公式中的看成了某个函数的记号，而不再是通常意义上的一族函数的记号。从这侧面印证了文献[2]的观点是正确的，即通解形式不严谨。

鉴于此，笔者认为寇冰煜、张燕、毛磊三先生最后得出的结论应为“文献[3]或[6]或[7]所提供的通解形式有不严谨之处，但能得到合理的解释，为兼顾各种因素，建议将其通解形式改为变上限的定积分形式”，稍感缺憾，她们没有得出此结论，而是得出与文献[1]相左的结论，其说理过程从实质上讲是与其结论相左的。

【参考文献】

[1]寇冰煜，张燕，毛磊，对一道微分方程通解的质疑的解释[J]．高师理科学刊，2011，31（6）．

[2]汪维刚．对一道微分方程通解的质疑[J]．高师理科学刊，2011，31（2）：54-55．

[3]侯风波．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2003：144-145．

[4]陈向华．关于微分方程解的几点解释[J]．阴山学刊，2007（3）：16-17．

[5]王春草．常数变易法在求解微分方程中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报，2007，6（4）：43-44

[6]同济大学应用数学系．高等数学[M]．北京： 高等教育出版社，2002：261-279

[7]复旦大学数学系．常微分方程[M]．上海：上海科学技术出版社，1962：12-24