例谈数学方法在地理教学中的实践应用

钱永

摘 要： 地理是一门跨科学与人文两个学习领域的学科，数学方法在地理教学中的应用备受关注。本文总结了作者教学实践中数学集合、数形结合、分类讨论、立体几何、函数与方程等方法在地理教学中的应用，对地理教师的教学实践有一定的借鉴作用。

关键词： 数学方法 地理教学 实践应用

地理是一门跨科学与人文两个学习领域的学科，地理试题中有大量新颖灵活的、综合性较强的高考题及高考模拟题，尤其关于地球与地图、大气环境等自然地理知识类题目难度较大，学生失分较多，此类知识教学已成为地理教学的突破口。教师在解题之中总结出许多宝贵的经验，深入挖掘学生失分较多的原因，发现单一的地理知识已掌握得比较到位，归根到底是由于学科之间的知识迁移能力较弱。恰当地应用数学方法，实现定性与定量方法相结合、综合归纳与理论演绎方法并用，就能发展学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，有利于把握好能力目标的发展点，培养学生的创新意识，进而提高学生的科学素质。下面笔者结合自己的教学实践谈谈数学集合、数形结合、分类讨论、立体几何、函数与方程等方法在地理学科教学中的应用，以期对地理教师的教学实践有一定的借鉴作用。

1.数学集合法

集合方法是指运用集合论语言描述刻画数学研究对象和关系、运用集合论观点分析解决问题的方法。很多地理概念存在包含与被包含的关系，或需要进行分类划分，用语言表达往往比较抽象烦琐，此时可以借助数学中集合的思想方法表示，会显得直观、形象又具有科学性。地理概念可分为以下几种类型：

（1）从属关系的概念：如能源、一次能源、常规能源，类似的还有土地资源、土壤资源、耕地资源；银河系、太阳系、地月系等。

（2）包含并列关系的概念：如降水、降雨、降雪，有些同学总是把降水与降雨、降雪混淆，特别是降水与降雨常常混用，事实上，降雨、降雪只不过是降水的两个并列独立子集，用集合表示就很直观；类似的还有锋、暖锋、冷锋，准静止锋；淡水与各种陆地淡水资源的关系等。

（3）交叉关系的概念：如可再生能源、新能源、二次能源；类似的还有自然资源、矿产资源、能源等。

（4）排斥关系的概念：如可再生资源和不可再生资源；岩浆岩、沉积岩、变质岩、褶皱、断层等[1]。

案例1（湘教版必修1，自然资源的范畴）：

在“自然资源与人类活动”与“自然资源保护”中需要把握一组概念：能源、一次能源、常规能源的从属关系，如果要从文字上区别，首先得记住这三个概念的定义、内涵与外延，这样学生的记忆负担太重，会增加学习难度。如将集合思想渗透地理概念，就浅显易懂了（见图1），只不过是简单的包含与被包含关系，学生很容易明确。

2.数形结合法

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”。在地理解题中，同样可以将简单的文字或数字以图形的方式呈现，通过抽象思维与形象思维的结合，复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化地理解题途径的作用。此思想方法广泛适合正午太阳高度变化、气候类型的判断等知识块的“渗透”。

案例2（湘教版必修1，正午太阳高度的分布规律）：

正午太阳高度分布规律的教学是高中地理中最难的部分，新教材为降低难度，只给予一个结论性的概括，虽有图思考，显然不太直观，学生学习和理解都感到非常困难，为增加学生学习的直观性，同时让学生能够连贯地思考，现根据数形结合思想重新设计，通过师生共同活动组织教学，以下是教学过程。

通过指导学生阅读湘教版第20页的二分二至日正午太阳高度数据，得到以下三组数据（见下表）。

根据三条曲线变化规律归纳与总结正午太阳高度分布规律：同一天，全球各緯度的正午太阳高度由直射纬线向南北两侧递减。通过师生共同活动，教学过程更加直观，突破教学难点，彻底打通学习的“任督二脉”。在地理教学中使用数形结合思想方法，可以培养和发展学生的空间观念和数感，同时丰富学生的形象思维与抽象思维，使多种思维互相促进，有助于培养学生灵活运用知识的能力，更有助于学生综合能力的提高。

3.分类讨论法

所谓分类讨论，在数学中也叫“穷举法”：就是把原问题分解成相对独立的“小问题”处理，综合对这些小问题进行解答，便可推证出原问题的结论。

案例3（湘教版必修1 三圈环流）：

三圈环流的形成，这部分内容是高中自然地理中最难理解的知识点之一，内容较为抽象，其中概念和原理离学生实际生活很远，难以联系、想象，对学生的抽象思维和空间思维能力要求较高。在讲解时，教师需要由浅入深，借助学生已有知识和直观的图像，帮助学生深化理解。教学过程如下：形成全球性大气环流的主导因素有：太阳辐射的纬度差异、地球的自转、太阳直射点的南北移动。试着根据这三个主导因素来三次假设，层层深入，分类讨论，最后综合总结，得出正确结论。

假设一：地表性质均匀、太阳直射赤道，地球不自转，绘制单圈环流图（见图3）。

假设三：地表性质均匀。

在假设三的基础上，需要考虑直射点的移动，则气压带与风带的位置也会移动。

假设四：无。

在假设四的基础上，需要考虑同一纬度的地表性质差异，则气压带将变成块状。

整个分类讨论过程层层深入，使复杂问题简单化，学生学会将大问题分解为几个子问题，再逐一突破的问题解决方法，培养分析能力和综合概括能力。

4.几何法

地理教学中，为使地理原理、规律更加直观，需要模拟、演示地理实验或去野外进行地理实践，而在这些实验或实践活动中需要运用几何方法解决地理问题，如太阳高度角的测定、两楼间最佳距离的确定等。

案例4（湘教版必修1，黄赤交角）：endprint

必须借助几何图形与立体模型说明该概念，同时应用几何知识理解该概念及影响。黄赤交角的概念，即公转平面（黄道平面）与自转平面（赤道平面）的夹角，就是二平面所成的二面角。可通过集合图形和立体模型说明黄道平面和赤道平面的概念。在说明这两个概念的时候，可向学生出示地球公转轨道示意图（图5）、地球仪（图6）及一盏固定安装于某个高度的白炽灯[2]。

通过上述图形和模型学生充分理解“赤道面”和“黄道面”这两个概念。在这样的知识储备前提下，教师再出示平面图（教材P21）。除黄赤交角外，经线与经度、纬线和纬度、地平高度、太阳高度、角速度与线速度等概念及其特点，都可通过数学几何图形给学生以直观、形象的印象，通过几何知识分析帮助学生正确、深刻地理解概念，从而起到掌握重点、突破难点的作用。另外，在地理实践活动中学生通过立竿测影计算某地的正午太阳高度角，学生结合几何方法制作地球仪等地理模型。让学生动手学习，既能提高学生的动手操作能力，又能激发学生的学习兴趣，达到事半功倍的效果。

5.转化化归法

所谓转化化归法，就是指在解决数学问题的过程中，不直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）易解决或已解决的问题。也就是把未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，然后把这些已知的或简单的问题的结果作用于原问题而解决原问题的方法。这种方法在解决地理分析计算问题时经常用到。

解析：本题的关键条件是α、β之差小于6°，α、β角是太阳光线与地面垂线的夹角，对这两角的出现开始感觉到陌生、困惑，是否可以将两角转化成熟悉的夹角，是解题的突破口。尝试着过M点作地面切线L3（图9），标注角1、2，∠1、∠2为二至日正午太阳高度的大小。发现∠1+∠α=∠2+∠β=90°，推导：∠1-∠2=∠β-∠α，即角1、2的差值也小于6°，通过等价转化，将陌生角的差值转化为熟悉角的差值——正午太阳高度差值。对于二至日的正午太阳高度差值，进一步转化为公式，从66.5°-90°、23.5°-66.5°，0°-23.5°三个纬度范围分别计算M点纬度，其中66.5°-90°之间冬至日是极夜，可以排除；23.5°-66.5°之间二至日的正午太阳高度差值是定值47°，亦可排除。这样计算就转化为0°-23.5°之间的相关计算，设M点纬度为x，则H夏至日-H冬至日=[90°-（23.5°-x）][90°-（23.5°+x）]=2x，即2x<6°，x<3°，答案A。本题也可以赋特殊值代入转化推导。

本题通过角角转化，将复杂问题转化为简单问题，不熟悉的问题转化为熟悉问题。化归思想在应用上具有灵活性和多样性，解题时需要学生依据问题本身提供的信息，利用动态思维寻求有利于问题解决的变换途径和方法。

6.函数与方程法

函数与方程法是就某个具体问题通過“建模”，转化成函数或方程，从而解决问题的一种方法。将其运用到地理解题中，瞄准具体的地理计算问题，通过运用地理原理和数学方法将问题中展现的地理各要素关系转化为相应的方程、函数，然后利用数学知识和地理原理求解[3]。

案例6：读某地太阳高度日变化值随日期变化图（设黑夜太阳高度都为0°），回答问题。则：该地的纬度为（ ）。

此题需要借助函数或方程，通过将太阳高度变化中一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，理清思路，降低难度。实际操作过程：地理问题→数学问题→方程问题。

总之，地理教学特别是自然地理教学，综合性强，难度大，思维方式最接近理科思维，对学生的逻辑推理和综合分析能力要求较高。数学方法就是开启地理教学的一把金钥匙，将数学方法应用于地理教学之中，有助于加强知识迁移、空间想象、地理计算等训练，同时拓展地理思维水平，开启地理思维的智慧之门，使地理教学真正由“烦琐”走向“无琐”[4]。

参考文献：

[1]郭姝媛.数学思想方法在高中地理教学中的渗透[D].上海：华东师范大学，2011.

[2]孟凡光.摭谈数学思想与方法在解答地理选择题时的应用[J].地理教学，2010（23）.

[3]孙中旭.地理教学中的数学思考[J].长春教育学院学报，2007（9）.

[4]金光泽.计量思想——高考地理试题所反映出地学思维和方法[J].中国考试，2007（11）.endprint