合理放缩超越函数巧取零点所在区间

2018-01-25安徽省岳西中学246600储百六

中学数学研究(广东) 2018年13期

关键词：切点切线零点

安徽省岳西中学(246600)储百六

1 引言

在近年高考中零点问题已悄然成为了一个热点,这类问题一般利用函数的单调性与零点定理来解决,其理论依据是：

(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的单调函数,则函数f(x)在区间[a,b]上至多一个零点.

(2)零点定理：若函数f(x)在区间[a,b]上是连续函数,且f(a)f(b)＜0,则f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.

所以在解决此类问题时,往往先判断函数的单调性,再由零点定理取点找出零点所在的区间.判断函数单调性对多数学生而言并非难事,取点找零点所在区间总感觉无从下手,很多答案的解答也是有如神助,从天而降.下面笔者针对此类问题结合实例谈谈解决该问题的思路,以期读者从中得到启发.

2 问题思路分析

要确定函数零点所在区间,就是寻找数x0使f(x0)＞0(或f(x0)＜0),从而确定函数零点所在区间的端点.但是对于一些复杂函数依直觉取点,往往行不通,为了找到符合条件的x0可将f(x)适当的放缩到一新函数g(x),使f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x)),再求出g(x)的零点x0,从而找到符合条件的区间端点.

从上述分析可看出解决问题的关键在于找到适当的函数g(x),函数g(x)需满足两个条件：(1)零点存在且易求;(2)不等式f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x))已知或易于证明.那如何找g(x)呢?下面以指对数函数为例,探讨其放缩的方法：

1、利用常见不等式ex≥x+1及其变形

变形1ex＞x(去掉1).

变形2e-x≥-x+1(-x换掉x),特别的当x＜1时有

变形3当x＞0时,

证明由ex≥x可得

变形4ln(x+1)≤x或lnx≤x-1.

变形5

变形6可根据需要调整对a取值如：lnx＜x,lnx等.

变形7或xlnx≥x-1.

利用上述式子可将指对数函数放缩到简单的多项式函数,而多项式函数的零点较容易找到或确定位置,从而容易构造出合适的函数g(x).

2、切线法,以直代曲

(1)对∀x,x0∈R有ex≥ex0(x-x0)+ex0.

注因函数y=ex为下凸函数,所以函数y=ex的图像在x=x0处切线的上方.其他函数也可依照其凹凸性得出类似的不等式,这是不等式证明的常用的“切线法”.

证明令F(x)=ex-ex0(x-x0)-ex0,F′(x)=ex-ex0,所以F(x)在(-∞,x0)为减函数,在(x0,+∞)为增函数,F(x)≥F(x0)=0,所以(1)式成立.

类似有：

(2)∀x,x0∈R有lnx≤证明与上式类似,此处从略.

容易看出(1)和(2)是上述不等式的一般推广,不过用(1)和(2)可将切点选在更合适的位置.下面通过一些例子介绍具体的操作方法.

3 例题选讲

例1求证：当a＞e时,函数f(x)=ex-ax有两个零点.

分析(1)先判断函数的单调性.因为f′(x)=ex-a,由f′(x)＞0得x＞lna,f′(x)＜0得x＜lna,所以f(x)在(lna,+∞)为单调递增函数,在(-∞,lna)上为单调递减函数.

(2)再来取函数零点所在区间.因为a＞e,所以fmin(x)=f(lna)=a(1-lna)＜0,下面要确定零点所在区间,只需在区间(-∞,lna)和(lna,+∞)上分别取两个点x1,x2,使得f(x1),f(x2)都大于0.在区间(-∞,lna)上容易看出0符合题意,f(0)=1＞0,于是f(0)f(lna)＜0,所以f(x)的零点所在区间为(0,lna)上.再在(lna,+∞)取点.

方法一：利用变形3,为了得到足够大的x2,可让放缩后的指数n＞1,不妨取n=2得：于是所以f(4a)＞0,所以f(lna)f(4a)＜0,这样就找到了f(x)的零点所在区间为(lna,4a).

法二：用切线法.为了得到足够大的x2,在切点选择时要使切线的斜率比a大,比如：2a,3a等.在(1)式中取x0=ln(2a)得：ex≥2a(x-ln(2a))+2a,所以f(x)=ex-ax≥2a(x-ln(2a))+2a-ax=ax-2aln2a+2a,由ax-2aln2a+2a＞0得：x＞2ln2a-2,取x2=2ln2a-1,显然x2＞2ln2a-2＞lna,则f(x2)＞0于是f(lna)f(x2)＜0,这样就找到了f(x)的零点所在区间为(lna,x2).

例2求证：当0＜a时,函数f(x)=lnx-ax有两个零点.

分析(1)先判断函数的单调性.因为所以f(x)在为单调递增函数,在上为单调递减函数.

法一：利用变形6,为了得到足够大的x2,可让放缩后的指数a＜1,不妨取所得这样就找到了f(x)的零点所在区间为

法二：用切线法.为了得到足够大的x2,在切点选择时要使切线的斜率比a小,比如：等.在(2)式中取所以f(x)=由取显然则f(x2)＜0,于是这样就找到了f(x)的零点所在区间为

例3求证：当时,函数f(x)=ex-ax2有三个零点.

分析本题若直接讨论单调性比较麻烦,可分离参数后调整为：“当时,函数有三个零点”

(2)再来取函数零点所在区间.在区间(-∞,0)上,因为ex＜e0=1,所以得于是又由ex≥x+1(x/=0),所以g(x)=得是有g(x1)＞0,这样就找到了零点区间在区间(0,2]上,因为g(x2)＞0,可得零点区间(x2,2);在区间[2,+∞)上,为了找到足够大的数x0,使g(x0)＞0,可用变形3将ex放缩到比x2的次数更高的式子,取n=3得所以-a=0得x=27a＞2,所以g(27a)＞0,于是g(2)g(27a)＜0,这样就找到了零点区间(2,27a).

注从例3看出采用分离参数的方法,有时可减小判断单调性的难度,也更容易有图像找出所求参数的范围,但取零点所在区间的方法和不分离时实际是一样的.例1、例2都可用分离参数的方法,读者可自行探究.

例4已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

分析(1)由题设知：

f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).当a≤0时,f′(x)＜0,此时f(x)在R上为减函数.当a＞0时,在区间上f′(x)＞0,所以此时f(x)的减区间为增区间为

(2)由(1)知：当a≤0时,f(x)在R上为减函数,f(x)至多一个零点,不合题意.当a=1时,只有一个零点,不合题意.

当a＞1时,令h(x)=1-x-lnx,显然h(x)为(0,+∞)的减函数.fmin(x)=f(x)无零点.当0＜a＜1时,若x＜0,则ex＜1,于是f(x)=ae2x+(a-2)ex-x＞-2ex-x＞-2-x,所以f(-2)＞0,则f(x)在上有零点,再考虑的零点,由ex＞x得：f(x)=ae2x+(a-2)ex-x1＞ae2x+(a-2)ex-ex=ex(aex+a-3).由aex+a-3=0得x1=则f(x1)＞0,又所以f(x)在上有零点.综上,若f(x)有两个零点,则a的取值范围是(0,1).