高考题怎么改编（四）——三角函数篇

苏 玖

真题展现

（2018年江苏卷第16题）已知α，β为锐角，

（1）求cos2α的值；（2）求tan（α-β）的值.

思维延伸

本题是给值求值类型问题，常用的策略就是拆角变换.若改变角α，β的范围，于是有：

（改编1）若β为锐角，α为第三象限角，

（1）求cos2α；（2）tan（α-β）.

本题只是改编一个角的范围，所得到的结果与原题截然不同.如果知道两个角的和与差的范围，又会有什么样的题目呢？

本题的求解过程很容易将待求的式子的角化为已知的角，如果这些角之间的关系比较隐蔽，不容易转化，又会有什么样的题目呢？

有的题目条件需要先化简已知条件，再求有关三角函数式子的值，可以改编为：

前几道改编题都是求值题，也可以改编为证明题：

（改编6）已知sinβ＝2 sin（2α＋β），其中求证：tan（α＋β）＝-3 tanα.

点拨解析

原题解析：（1）因为α为锐角，于是sinα＝因为α，β为锐角，因此0＜α＋β＜π.又于是α＋β＜π，所以tan（α＋β）＝ -2.又因为所以 tan（α-β）＝

改编1解析：第（1）小题也可以弦化切求解.第（2）小题就要讨论角的范围了，由于β为锐角，α为第三象限角，因此2kπ＋π＜α＋β＜2kπ＋2π，其中k∈Z.又因为于是α＋β∈所以tan（α＋β）＝2，.而α-β＝2α-（α＋β），所以，

改编2解析：由已知条件可以判断α-β∈因此 sin（α＋

所以sin2α＝sin[（α＋β）＋（α-β）]＝sin（α＋β）cos（α-β）＋cos（α＋β）sin（α-β）＝同理可得：本题是两个变化的角，而“2α”角与条件中出现的“两个整体角”“α＋β”“α-β”之间恰有关系2α＝（α＋β）＋（αβ），2β＝（α＋β）-（α-β），使问题迎刃而解.诸如此类的整体角还有α＝（α＋β）-β，等等.

改编3解析：

解法一：因为所以又因 为所以.这样原式＝代入数据得

解法二：因此原式

改编4解析：条件中有两种角，α和α-而结论中只有一种角因此应将α和尽量用表示.为此，可以设于是和所以，已知等式可以表示为展开化简得即所以，tanθ＝

改编5解析：本题条件中的单角的正切的式子，先要解出tanα值，而待求的函数式中有单角也有半角，故要先将所求的式子化半角为单角，将弦化切后再代入求解.由已知得3 tan2α＋10 tanα＋3＝0，因此tanα＝ -3或又因为所以.所以原式＝

改编6解析：条件角为β，2α＋β，而目标角为α＋β和α，为了实现目标，我们可将条件角用目标角表示.

由sinβ＝2 sin（2α＋β）得sin[（α＋β）-α]＝2 sin[（α＋β）＋α]，

所以sin（α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα＝2[sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα]，

即sin（α＋β）cosα＝-3 cos（α＋β）sinα.因为所以cosα≠0，cos（α＋β）≠0，所以tan（α＋β）＝-3 tanα.

回顾悟道

给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于将“目标角”变换成已知角.若角所在的象限没有限定，则应分情况讨论.应注意公式的运用、逆用、变形运用，掌握拆角、拼角、配角变换的技巧.

小试牛刀

（2018年浙江理科卷第18题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

（1）求 sin（α＋π）的值；

（2）若角β满足求cosβ的值.

提示1：改变题目条件，但仍然考查拆角变换，可以有：

（改编1）_____________________________

提示2：如果已知条件角中含有半角，而目标角中是整角，可以有：

（改编2）_____________________________

参考答案与提示

原题解析：（1）由角α的终边过点得所以

（2）由角α的终边过点得

由β＝ （α＋β）-α得cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα，

（改编1）设α为锐角，求tan（2α-β）的值.

解析：因为α为锐角因此tanα＝所以tan（2α-β）＝ tan [α＋（α-β）]＝