基于有限时间理论的临近空间拦截器末制导律PWPF调节器研究

段美君，周荻,*，程大林

1.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001 2.北京宇航系统工程研究所，北京 100076

临近空间指高度在20～100 km的空天过渡区，远高于传统防空导弹的防空高度，而又低于弹道导弹防御系统的拦截高度，同时由于空气稀薄，飞行器可以实现高超声速机动飞行，打击突防能力强。因而各军事大国竞相发展临近空间飞行器[1-2]，如美国采用超燃冲压发动机技术[3]可以驱动类似“乘波者”X-51A尺寸的导弹，在30 km高度以马赫数Ma为5～6的速度在10～12 min内打击相距270～320 km的目标。面对临近空间目标威胁，需要针对其高速机动特性研究相应的防御方法。

动能拦截器[4]技术已在弹道导弹防御系统中得到广泛应用，如美国地基拦截弹的大气层外杀伤飞行器(Exoatmospheric Kill Vehicle，EKV)、海基标准-3拦截弹的大气层外轻型射弹拦截器(Lightweight Exoatomospheric Projectile，LEAP)和末段高空区域防御的动能杀伤器(Kinetic Kill Vehicle，KKV)等。动能拦截器采用姿轨控发动机实现姿态稳定和精确末制导，高精度制导律是实现直接碰撞的关键技术。考虑临近空间目标飞行速度快和机动性强的特点，末制导时间短，因此有必要研究有限时间收敛制导律。

国内外学者很早已开始有限时间收敛制导律的研究[5]。文献[6]考虑传统滑模控制只能实现渐进收敛，且由于奇异导致饱和，因而针对攻击角度约束问题设计了非奇异滑模制导律，以期望的角度拦截静止、恒定速度或机动目标，均可实现有限时间制导。文献[7]针对一类连续非线性系统，选择滑模面设计了有限时间收敛的滑模制导律，通过调整增益，可实现在期望时间内收敛至平衡点。文献[8]针对机动目标且机动加速度的界未知的条件下，基于有限时间输入状态稳定理论设计了非线性制导律，保证视线(Line of Sight, LOS)角速率有限时间收敛至零的小邻域内，但需要调整制导律参数才可保证收敛速率。文献[9]设计了三维条件下的有限时间收敛滑模制导律，为了去除符号函数带来的抖振，用非线性扰动观测器估计目标加速度，引入到制导律中抵消目标机动影响。文献[10]针对机动目标设计了考虑自动驾驶仪一阶动态特性的两种组合有限时间收敛制导律，一是实现直接碰撞杀伤，二是零化视线角速率；用非线性干扰观测器在线估计集中不确定性和积分Lyapunov函数避免了虚拟控制微分，仿真验证了制导律的优越性。文献[11]设计了考虑导弹自动驾驶仪二阶动特性的有限时间收敛制导律，补偿了自驾仪的动态延迟，而且避免了视线角速率的高阶导数，仿真实现了精确拦截非机动和机动目标。文献[12]针对三角拦截问题，应用有限时间理论，设计了输入-输出有限时间稳定控制器。拦截器采用直接侧向力稳定目标视线，因响应只有几十毫秒可忽略其延迟对制导律性能的影响；但是输出推力为常值且垂直于弹体纵轴，因而上述连续制导律不适用于推力受限的情况。

发动机可输出不同宽度的脉冲指令，采用脉冲宽度脉冲频率(Pulse Width Pulse Frequency，PWPF)调节器实现数字变推力[13]是一种行之有效的方法，可节省燃料。文献[14]针对动能拦截器末制导拦截问题，采用比例制导律，通过PWPF调节器实现数字变推力，并用遗传算法优化，达到优化脱靶量和燃料消耗的目的。文献[15]针对大气层外杀伤飞行器，采用非线性干扰观测器估计目标加速度再设计有限时间收敛制导律；考虑由于末制导相对距离减小，视线角速率变化灵敏，设计了变死区的PWPF调节器，并用描述函数法证明了调节器的稳定性，仿真结果表明了此方法在优化燃料消耗和脱靶量上的优越性。文献[16]采用粒子群优化算法对PWPF调节器参数进行了微调，对卫星姿态控制问题应用PID控制方法，实现了姿态的精确控制。文献[17]针对采用冷气姿控发动机的地球低轨道卫星设计了模糊PWPF控制器，并与其他方法比较，通过蒙特卡罗仿真验证了控制器可以节省燃料。文献[18]基于PWPF调节器研究了椭圆轨道非协同航天器的轨道交会和临近机动的轨迹规划问题，在接近时间和精度满足要求条件下，减少了燃料消耗。文献[19]在三维空间航天器轨道转移任务的制导控制系统设计中，用PWPF调节器代替了滑模控制器，数字仿真表明了方法的有效性。文献[20]设计了无人机三轴姿态稳定智能控制方法，用PWPF调节器实现了内闭环发动机控制。PWPF调节器的参数设计往往基于经验或智能控制方法优化参数，对调节器的附加延迟和极限环震荡问题，并未得到理论解决。

考虑上述研究的不足，本文针对动能拦截器防御临近空间高速机动目标，设计了有限时间收敛末制导律，基于有限时间理论给出了收敛条件和性质，并推广到考虑发动机推力受限的有限时间收敛制导律。对于PWPF调节器的附加特性，给出了考虑附加延迟时的有限时间收敛条件；为了使视线角速率快速收敛至平衡点，同时考虑发动机最小工作时间限制，给出了调节器参数的设计方法。

1 末制导模型

图1所示为末制导框图，选择平面制导模型为研究对象，虚线框内为PWPF调节器，由一阶惯性环节、施密特触发器和负反馈回路构成，其中Km和Tm为一阶惯性环节的放大系数和时间常数；Uon和Uoff为继电器的开启和关闭阈值；Um为发动机脉冲推力幅值;U(t)为中间变量。发动机开关状态与触发器输出状态保持一致，末制导指令E通过PWPF调制后控制发动机输出推力，使视线角速率收敛至零，实现准平行接近法。物理意义上PWPF调制后输出的脉冲串是对制导指令的近似。

图1 末制导框图
Fig.1 Terminal guidance block diagram

1.1 制导模型

(1)

图2 拦截器和目标的平面相对运动
Fig.2 Planar relative motion of interceptor and target

1.2 PWPF调节器

由图1可得U(t)的解析表达式。当发动机工作在开启状态时,

U(t)=Km(E-Um)(1-e-t1/Tm)+Uone-t1/Tm

0≤t1≤Ton

(2)

当发动机工作在关闭状态时，

U(t)=KmE(1-e-t2/Tm)+Uoffe-t2/Tm

0≤t2≤Toff

(3)

可解得如图3所示的脉冲延迟时间Td、开启时间Ton、关闭时间Toff和最小脉冲宽度Δ分别为

(4)

Km(E-Um)≤Uoff

(5)

(6)

(7)

图3 PWPF调节器输出
Fig.3 Output of PWPF modulator

调节器工作的线性区间为(Ed,Es),其中

Ed=Uon/Km

(8)

Es=Um+Uoff/Km

(9)

当E>Es时，调节器工作在饱和区，发动机工作在稳态；当Es>E>Ed时，调节器工作在线性区，对应常值指令E输出确定频率和宽度的脉冲序列；当Ed>E时，调节器工作在死区，发动机不工作。

2 制导律及调节器设计

2.1 有限时间收敛制导律设计

关于有限时间理论有如下定义和引理，作为研究基础。

φ(t;t0,x0)=0t>T(x0)

(10)

及当t∈[t0,T(x0))时，φ(t;t0,x0)∈U/{0}。

证明：选取Lyapunov函数

(11)

其导数为

(12)

将式(1)和制导律代入式(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

对式(18)求定积分，且收敛后V1(t)=0,则

(19)

定义tf末制导时间，有R(tf)≪R(0),则

(20)

由于拦截器采用直接力控制，无论是固体还是液体发动机，输出的推力都只能是一个确定的数值，发动机输出脉冲推力，作为控制量是受限的。忽略燃料消耗导致质量减小，推力加速度也为常值，应用准平行接近法，选择滑模制导律为u=Umsgnx,如定理2为推力受限时制导律的性质。

证明：选取Lyapunov函数

(21)

其导数为

(22)

将式(1)和制导律代入式(22)得

(23)

(24)

(25)

2.2 PWPF调节器参数设计

PWPF调节器会带来附加延迟和极限环特性，因此有必要基于定理2，研究考虑PWPF调节器附加延迟时间的可控条件，有如下定理3。

证明：末制导初始时刻t=0,考虑PWPF调节器存在附加延迟Td,当t

(26)

其中

(27)

代入式(26)，得

x(t)=

(28)

当x(t)>0,aT≥0时为目标逃逸，有‖aT‖≥aT可得

(29)

初始状态为

(30)

由式(30)得到常数C,代入式(28)得

(31)

同理，当x(t)<0,aT≤0时为目标逃逸，有-‖aT‖≤aT可得

(32)

初始状态为

(33)

由式(33)得到常数C,代入式(32)得

(34)

综合式(31)和式(34)得

(35)

(36)

根据2.2节中介绍的PWPF调节器的线性工作区可知，在饱和区时，要求系统状态必须可控；在死区时，视线角速率尽可能收敛至零。关于施密特触发器的开启、关闭阈值设计有如下定理4。

(37)

(38)

综合式(37)和式(38)得

(39)

根据定理2中可控条件

(40)

综合式(39)和式(40)得

(41)

对制导系统在tc时刻，指令E=Uon/Km,输出为最小脉冲宽度Δ。希望在Δ作用下，视线角速率x(tc)恰好收敛至零。与定理3中类似，此时aM=Um,且假设aT=aT(tc),则

(42)

令t=tc得

(43)

代入式(42)消除C得

(44)

令x(tc+Δ)=0得

(45)

代入制导指令，可得

(46)

3 数字仿真及分析

3种制导律下脱靶量和燃料消耗的仿真结果如表2所示，KI在FTCG、PN和SMG 3种制导律下拦截器和目标X-51的飞行弹道和燃料消耗曲线如图4和图5所示。为了比较制导律自身的性能，仿真中未加入测量噪声等误差。仿真结果表明3种制导方法均可实现直接碰撞，但本文提出的FTCG制导律弹道平直，接近于SMG，但燃料消耗却显著减少。

表1 初始参数Table 1 Initial parameters

表2 3种制导率下的仿真结果Table 2 Simulation results obtained by three guidance laws

图4 拦截器和目标飞行弹道
Fig.4 Flight trajectory of interceptor and target

图5 拦截器和目标燃料消耗
Fig.5 Fuel cost of interceptor and target

视线俯仰和偏航角速率曲线如图6和图7，FTCG保证视线角速率在制导结束前的有限时间收敛至零，且近似线性收敛。PN制导律无法保证其收敛并稳定在零附近，因此对应的弹道弯曲。SMG制导律收敛速度快，但其保持在零附近不利于导引头观测，且发动机频繁开启增大了对弹体的震动影响。

图6 视线俯仰角速率
Fig.6 LOS pitching angular rate

图7 视线偏航角速率
Fig.7 LOS yawing angular rate

图8 纵向发动机推力(FTCG)
Fig.8 Pitching engine force (FTCG)

图9 横向发动机推力(FTCG)
Fig.9 Yawing engine force (FTCG)

图10 纵向发动机推力(PN)
Fig.10 Pitching engine force (PN)

图11 横向发动机推力(PN)
Fig.11 Yawing engine force(PN)

图8～图11为FTCG和PN制导律在PWPF调节器下的发动机输出推力，F1～F4分别代表通过拦截器质心且垂直于弹体轴的4个轨控发动机推力，其中F1和F3的作用是稳定视线俯仰角，F2和F4的作用是稳定视线偏航角。SMG制导律由于开关函数将导致发动机频繁开启。其中俯仰通道由于交班条件较差和目标等高度巡航，图8和图10相比，本文提出的FTCG制导律和PN制导率，制导指令使调节器工作在饱和状态，对应的发动机F3在末制导开始阶段饱和开启，对应图6视线角速率收敛速度增大；随着时间的增加视线角速率减小，调节器工作在线性区，在8 s 前视线角速率均收敛至零；之后由于目标机动逃逸，FTCG制导中的有限时间收敛项‖aT‖sgnx保证视线角速率在零附近变化，实现准平行接近，弹道平直。与PN制导律比较，发动机工作效率高，且减少了发动机开关次数。

4 结 论

1) 基于有限时间理论的末制导律，结构简单，只增加目标机动加速度的界信息，即可实现有限时间收敛，便于工程应用。

2) PWPF调节器参数设计使其工作状态从饱和区进入到死区，保证视线角速率收敛速度快且收敛至平衡点；同时考虑了发动机最小工作时间限制，避免了发动机频繁开启，解决了调节器附加延迟和极限环问题。

3) 仿真结果表明，本文提出的FTCG制导律和PWPF调节器保证视线角速率有限时间收敛至零，之后通过小脉冲限制视线角速率在零附近，弹道平直，制导精度达到0.1 m，燃料消耗显著减少。

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