浅谈数学分析课程自主学习能力的提升

吴焚供+张然然

摘要：不同课程的知识结构、课程特点和学习目标各有不同，所以针对不同的课程开展自主学习的方法也各有不同。本文针对数学分析课程，从如何端正学生的学习态度、提高学生的听课效率到学生对概念的理解、对定理的学习、知识点的联结等方面，进行深入的探讨，阐述了在数学分析的学习中，学生该如何有效地开展自主学习。

关键词：数学分析；知识结构；课程特点；自主学习

“教学”由“教”与“学”组成。“教”与“学”是个有机的整体。在大学阶段的教学中，学生的自主学习显得更加重要。课堂之中教师“教”的效率高不高，很大程度上取决于课堂之外学生自主学习的效率高不高。学生的自主学习能力的培养也是教学目标的重要组成部分。自主学习具有能动性、反馈性、调节性、迁移性、有效性等特征。有效的自主学习应该包含以下五个方面：制订学习目标；确定学习内容和进度；选择学习方法；监督学习过程；评估学习效果。数学分析课程的知识结构和课程特点决定了学生学习方法的不同。

数学分析是数学专业的基础课程，可以培养学生在分析、推理、计算等方面的能力，扎实的数学分析功底是学好后续课程的必要前提。在数学专业的学习中，数学分析课程常常是刚入大学的数学专业学生的一只拦路虎。与高中课程相比较，数学分析的特点是概念、定理繁多，知识量大而且高度抽象。面对新的学习对象，大多数学生很难较快地调整学习方法。不少学生在上过一周课之后就急切希望教师推荐相关的参考书和习题集，他们希望通过反复练习大量的习题掌握知识，但这是一种低效且错误的学习方法。也有学生上课努力听讲，课下积极求问，投入了大量的时间，但学习成绩仍然不高。教师应该如何提高学生自主学习的效率呢？

结合学生的学习习惯、学生在学习中可能出现的一些误区以及数学分析课程自身的特点，本文从以下五个方面探讨提高学生自主学习效率的措施。

一、转变依赖思想，提高主动性

在教学实践中，大多数学生的学习态度是被动的，对授课教师有很强的依赖性。教师常常能感觉到他们对“知识”的理解是“教材里出现的，而且教师在课堂上讲解过的”。有时候连简单的举一反三和类比迁移他们也不想花费时间进行思考。例如，在教材第一章中介绍反三角函数时，教师一般只仔细讲解反正弦函数的定义和性质，并交代学生通过类比可以知道反余弦、反正切和反余切函数的情况。然而，在后续学习中用到反余弦的时候，有的学生会说没有学过这一部分知识。又如，教师讲解了1+tan2x=sec2x以及和差化积公式之后，下次如果需要用到类似的公式时，绝大多数学生会认为这是新知识，没学过。这些很小的例子，反映的是学生长期养成的依赖教师进行被动学习的习惯。学习应该以解决疑问和困惑为导向，而非以完成作业为目标。学生对知识的获取也不能仅限于教材和课堂上，特别是在数学分析的学习中，有很多的细节是需要学生自己去推敲和探索的，对知识的归纳、对比等任务都必须由学生自己来完成，丰富的知识和庞大的体系决定了教师要进行方法的介绍和思路的引领，因此，学生一定要改变高中的学习习惯。

二、提高听课的效率

初学数学分析的学生大多会在一两个月后就难以跟上教师的节奏，有的学生反映上课时知识量大，一个定理的证明过程中某个知识点没听懂，后面就都听不懂了。久而久之，部分学生会丧失对学习的兴趣，甚至有的学生放弃听课。失去教师引领的学生在学习时难免要走弯路。课堂听课的效率取决于学生课前的预习和课后的复习是否到位。那么，学生课前应该怎样预习，课后又应该如何复习才能提高课堂听课的效率呢？

数学分析知识量大，概念定理多，而且定理建立在概念的基础上，概念与概念间联系紧密，定理证明的逻辑推理严密。学生课前的预习主要是对新课中用到的已学过的概念和定理进行复习，在预习中发现无法理解的内容应该标记出来，带着问题听课，而看得懂的也可以多想想为什么要这样做，为什么这样是对的。学生在课堂上要及时做好笔记，把知识框架、重点、难点、易错点、受到的启发以及新的理解记下来，但不要照抄板书。听课的主要任务是带着问题与教师交流。学生在听课时应重视教师讲解的思路。例如，在教师证明一个定理的时候，学生应该听清楚教师准备怎么证明，先证什么，再证什么，为什么这样证明。学生在听课的过程中如果有某个细节暂时没弄明白，可以先跳过，紧跟教师的思路，不应该一直执着于某个细节，细节处可课后自己再推敲。

课堂上听课的重点，不仅要听懂教师讲的知识，还应观察教师如何分析问题，模仿教师表述问题的方式，尽可能自己分析问题，使自己表述问题的方式更加专业和严谨。学生在课后应对新授课内容进行总结，如还有不懂的地方应该积极向教师提问，不要放过任何疑问。除此之外，学生还应该把新知识与旧知识进行对比、归类、总结，在回顾课堂笔记的过程中，联系前一章节的内容，不仅梳理知识脉络、排除疑问，還可以将知识内化吸收。例如，在学完数列收敛的柯西准则之后，学生除了理解并掌握如何利用柯西收敛准则证明数列收敛和发散之外，还可以与前面所学的数列收敛的必要条件、充分条件（单调有界原理）、定义等知识点进行归纳，总结出到目前学习阶段为止，证明或者判断一个数列收敛或者发散可以用的方法。只有常常对比和总结整理，学生才能将这些知识在自己的思维中构成一个连接紧密的体系，在理解的基础上使自己牢固掌握所学的知识。再如，在学习导数概念时，学生要认识到导数本质上就是函数极限，所以判断导数是否存在本质上就是判断函数极限是否存在，而左右导数实质上就是某种函数的左右极限。由此可知，所有用于判断函数极限是否存在的方法都可以用来判断导数是否存在，而不是仅仅依赖导数的定义。

课后的总结和归纳是对学习的深化。数学分析对于刚上大学的学生来说是高度抽象的，课后对教材的反复推敲也是极为重要的。许多学生在高中阶段养成了轻视教材的习惯，这是自主学习中的一个重大误区。高中阶段记住公式、反复做题强化的方法在大学阶段是低效且不可行的。学生不应仅满足于“知其然”，更应该彻底理解教材，努力追求“知其所以然”。要做到“知其所以然”，学生必须重视教材，将抽象的概念和定理形象生动地重构出来！endprint

三、做好概念的理解

概念是构成数学分析知识体系的基本元素，概念学习是数学分析学习中的重中之重。在数学分析课程的学习中，教师要提升学生的自主学习能力，最重要的就是使学生重视概念学习，掌握学习概念的方法和技巧。大多数学生经过高中阶段的学习之后，形成了重视解题而轻视教材、轻视概念理解的习惯。这是一个非常普遍的误区。李邦河院士曾指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。”在概念的理解中，正反的对比、细节的推敲是深挖概念内涵、揭示概念本质的有效方法。

例如，数列极限的概念可以说是整个数学分析课程中最重要的，也是学生接触到的第一个高度抽象的概念。要理解好数列收敛“ε-N”的定义，首先，应该从正面来理解定义中每个符号的含义，要理解ε是任意小的整数、N对ε的依赖性等。其次，要理解定义所刻画的本质，即不管给定多么小的正數ε，都存在一个比较大的项N，从这一项以后的数列的所有的项与常数a的距离都能小于任意小的正数ε。在理解这个本质之后，再对定义中的一些细节进行更仔细的推敲。例如，定义N∈N+中的可以修改为N>0，“|an-a|<ε”与“|an-a|≤ε”没有本质区别等。此外，教师在讲解例子时应突出ε和N的关系。

在概念的学习中，应多从概念的相反的角度来加深对概念的理解。以“ε-N”定义为例，也就是要弄清楚数列{an}不以a为极限时应该如何定义，通过对收敛的定义的否定，可以得到：ε0>0，N>0，n0>N，使得|an-a|≥0，则{an}不以a为极限。正反的对比能让学生对定义的内在逻辑和细节之处有更全面的认识。教材中还给出了一个较为直观的定义，即数列收敛的几何定义：任给ε>0，若在U（a，ε）之外数列{an}中的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于a。这为理解收敛的概念提供了另一个不同的角度，当然也可以从这个角度归纳出：若存在ε0>0，使得U（a，ε0）之外有数列{an}的无穷多项，则数列{an}不收敛于a。

总之，概念的学习是数学分析学习的重点，学生必须通过正反对比，紧抓细节，使抽象的概念形象化，用自己的语言去概括每一个新学的概念，使记忆建立在理解之上。

四、做好定理的学习

在数学分析课程的学习中，几乎每节新课都有新的定理。定理是学习的重点及难点，学生应该在理解中掌握，在运用中熟练。如何才能做好定理的理解和熟练掌握呢？由于定理是由概念组成的，因此要想理解并掌握好定理就必须先熟悉概念和概念间的联系。除此之外，从定理本身所承载的知识和思想方法来看，学生还应该从两个方面来对待定理的学习。一是对定理内容本身的理解，二是对定理证明的理解。

学生在学习定理的时候常常会进入一个误区，把学习的重点放在对定理证明的理解上，忽视对定理内容的理解。这个定理的条件和结论是什么？它在叙述一个什么样的规律或者什么样的现象？能否用形象的图像把这一规律或现象描述出来？这个定理与其他学过的知识有什么联系，它有什么用？学生只有理解了这些问题之后，再去理解证明的思想方法才是有意义的。

如何才能理解好定理的内容呢？以下三个方面是教学实践中学生掌握得比较差但却对定理学习格外重要的。

1.明确定理的条件与结论，深挖定理内涵，总结运用定理解决实际问题的方法

例如在学习“单调有界原理”这一章节的知识时，教师对定理叙述如下：定理（单调有界原理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。实际上，深入思考这一定理，会发现这个定理指的是：单调递增有上界的数列极限存在且极限为其上确界；单调递减有下界的数列极限存在且极限为其下确界。同时还应该认识到定理的条件“单调有界”仅是数列收敛的充分条件，而非必要条件。在清楚这个定理的内涵之后，便可知道单调有界的数列的极限与数列的界的关系。再结合教材给出的例子，学生可以总结出利用这个定理来证明数列收敛的一般步骤。其中，证明数列有界的时候常常可以先假定数列有极限，通过递推关系确定极限值，再去证明该极限值是数列的确界。

2.利用图形将定理描述的现象，具体形象地表达出来

例如，在学习罗尔中值定理时，定理的条件是：第一，函数f（x）在闭区间[a，b]上连续；第二，函数f（x）在开区间（a，b）内可导；第三，在区间端点处有f（a）=f（b）。定理的结论是：至少存在一个ζ∈（a，b），使得f（ζ）=0。首先，学生要知道这三个条件是定理结论成立的充分条件，当这三个条件同时满足时，定理结论必定成立，但这个条件并非必要的，即结论成立时，函数未必需要同时满足三个条件。此外，这三个条件只要有一个不满足，结论都有可能不成立。针对这些细节，教师在教授这个定理的时候应该具体举出形象直观的例子，把这些细节通过图像直观地显示出来。

3.多进行小结与对比，用自己的语言叙述定理所描述的现象

定理的学习除了使学生明确定理的条件、结论，并将定理所描述的现象和规律尽量用图像形象地描述出来之外，还应该使学生用自己的语言准确地描述、总结并与已学知识进行对比，把所学定理放到已学知识模块里面去理解。例如，在学习数列的柯西收敛准则时，学生要记住柯西收敛准则很容易，但在不理解的前提下记住任何结论都是毫无意义的。如果能理解ε是任意小的正数，N是相对于ε而存在的正整数且一般数值较大，那教师可以用自己的语言把柯西收敛准则叙述为：数列收敛当且仅当无论给定多么小的正数ε，都会相应地存在一个足够大的正整数N，从这一项以后数列的任何两项之间的距离都能小于任意小的ε。

学生用自己的语言将所学定理表述出来，是其知识内化的一个必要过程。当然，学生要掌握好这些知识，还需要将定理放到已学的知识模块里面进行联系和对比。柯西收敛准则是判断数列收敛的充要条件，那判断数列收敛的必要条件、充分条件是什么？判断收敛发散还有哪些方法？用柯西收敛准则判断数列收敛与直接用定义判断收敛相比有什么便利之处？做这样一些联系和对比对于定理的理解和整个知识点的联通是非常有益的。endprint

五、知識点的串联和小结

数学分析内容丰富，概念定理繁多，所以教师多进行知识模块的梳理、小结，概念间的对比、联系，才能使学生有效巩固新学知识，编织出扎实的知识网络。

例如在学习函数极限概念的时候，教师一般将函数分为六种极限过程：xx0，xx0+，xx0-，、x∞，x+∞，x-∞。学生在初次接触这一知识时，一般都会对这六个不同极限过程的函数极限的定义产生混淆。学生在学完这些概念之后如果能对定义本身进行正反对比，对定义之间进行横向对比，其对细节的理解便会得到加深。例如，通过对比limxx0f（x）=∞与limx∞f（x）=A的定义，便能更清楚地发现用数学语言描述x充分地接近x0和∞的不同，以及刻画f（x）无限地接近A和∞的不同，也即用任意小的正数ε来刻画f（x）与A的接近程度。学生通过前面数列定义的学习，对这一点不难理解，为了描述“xx0”，引入正数δ，x要实现充分地接近x0，所以这个正数δ应该是一个比较小的数。在描述“x∞”时，引入正数M，x要实现充分地接近无穷大，那么|x|应该大于一个比较大的数M。通过这样的对比，学生便能对定义中符号的含义和逻辑关系有更深入的理解，只有在理解的基础上才能实现深刻的记忆。

数学分析的知识结构是建立在众多的概念之上的，学生没有把握好概念的本质，则难以理解和记住众多的结论。而概念间的联系如果没有清晰地建立起来，那知识点便是孤立的，这样建立起来的知识结构也不可能牢固。如果学生能够养成对知识点进行梳理和总结的习惯，则不难发现几乎整个数学分析的知识系统就是用极限这一主线串起来的。学生所学的重要的概念，如函数的连续性、函数的导数、定积分、瑕积分、无穷积分、级数等，这些归根结底都是某种特殊的函数极限或者数列极限，所以学好数学分析的关键在于学好极限。

六、结语

数学分析这一门课程在整个数学学科各专业的学习中都是非常重要的。学生学习好这一课程，除了为后续专业学习打下坚实的理论基础，更重要的是应该以这门课的知识作为一个载体，从其中学会学习数学的方法。学生希望学好数学分析，但学好数学分析不仅仅要求学生掌握这门课的知识，还要通过学习不断地提高分析问题、解决问题的能力，提高学习的能力，提升思维的品质才是数学分析这门课程的根本目标。

参考文献：

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