深度教学，培育学生的数学“核心素养”

郁健新

摘 要：培育學生数学“核心素养”必须进行“深度教学”。“深度教学”不是额外增加学生的课业负担，而是提升数学教学的品质。教学中，教师要站在多重立场上，努力让教学富有理解性、启发性、结构性和创新性。深度教学能够让学生的数学认知、思维、想象和情感达致卷入状态。

关键词：深度教学；核心素养；多重立场

培育学生“核心素养”是当代教育改革的主方向、主潮流。关于什么是“核心素养”，北京师范大学林崇德教授领衔的课题组已经在中国学生发展核心素养总体框架中有了普适性界定，即适应终身发展和社会发展的关键能力和必备品格。就数学学科而言，东北师范大学史宁中、马云鹏教授认为，《课标》中的十个关键词对应十大核心素养。作为数学教学的实践者，我们在关注“核心素养”内涵、意义、价值和表现的同时，更应关注学生核心素养的培育路径。因为，只有教师展开深度的教，学生展开深度的学，才有可能提升、发展学生的数学核心素养。

■一、基于“学生立场”，让教学富有“理解性”

培育学生的数学核心素养，必须基于“学生立场”。学生学习数学首先是理解数学，理解是数学学习的重要一环，因此教师要让自身的教学富有“理解性”。在教学中，教师可以借助观察、操作、比较等活动促进学生对数学知识的理解，让学生对数学知识形成本质认知。不仅明晰知识的“源”，更能洞察知识的“流”。因此，“为理解而教”不是一种口号，而是一种理性的教学行动。

例如教学《圆柱的侧面积》，一位教师组织学生将圆柱侧面展开成长方形，通过标注，学生认识到“长方形的长是原来圆柱底面的周长，长方形的宽是原来圆柱的高”，由此建构圆柱体侧面积公式，然后教师组织学生运用公式解决实际问题。乍一看，这样的教学似乎展现了知识的形成过程，其实不然。站在“学生立场”，我们会发现学生一次性的操作并不能在大脑皮层中留下清晰的操作表象，他们需要反复操作、观察、比较、思维、想象，需要在实物操作与数学归纳的连接处来回穿行。笔者在教学时，不仅让学生将圆柱侧面展开，还让学生将一张长方形的纸卷成圆柱，在卷的过程中，学生通过观察，直观地发现“长方形的长演变为圆柱底面周长、长方形的宽演变为圆柱高”的生动过程。不仅如此，笔者还让学生将长方形纸围成长方体侧面，围成三棱柱、四棱柱侧面。通过不断地卷围、不断地展开，学生建立了圆柱侧面、长方体侧面、三棱柱侧面、四棱柱侧面的展开图表象，建构了侧面积的一般性公式S=Ch。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，……学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础……”。可见，“数学理解”在学生数学学习中的重要性。毫不夸张地说，没有理解就没有深度学习，更谈不上学生数学核心素养的发展和提升。只有学生对数学知识“是什么”“为什么”等有了深度理解和把握，才能悄然形成数学核心素养。

■二、基于“教师立场”，让教学富有“启发性”

培育学生数学核心素养不能忽视教师的教。传统教学不缺乏“教”，只是“教”得过度、“教”得泛滥、“教”得越位，“教”代替了“学”。基于“教师立场”，深度教学要求教师要“有限地教”，使“教”让位于“学”，让“教”富有启发性、针对性。如何让教学富有“启发性”？一方面，教师要善于“隐身”，即进即退，通过旁敲侧击，给学生提供思维拐杖，将教学意图隐藏起来；另一方面，教师要善于间接引导，复原知识本来面貌、诞生历程，让学生经历数学知识的还原、探究和反思过程。

例如教学《简单的一位小数的加减法》，教师直接出示一位小数加一位小数的问题：0.5+0.7。学生在经过独立思考、小组交流后，展示出了多样化的算法，这些算法正是基于学生经验基础上的。有学生主动对抽象的算式进行意义赋予，认为0.5可以看成0.5元，也就是5角，0.7可以看成0.7元，也就是7角，5角加7角也就是1元2角，即1.2元，所以0.5加0.7等于1.2；有学生认为，0.5可以看成0.5米，也就是5分米，0.7可以看成0.7米，也就是7分米，5分米加7分米就是12分米，也就是1.2米，所以0.5加0.7等于1.2；有学生认为，因为5+7=12，所以0.5+0.7=1.2；还有学生认为，0.5加0.7可以用竖式计算，计算的时候要注意小数点对齐等。教学中，教师紧紧抓住最后一位学生的“小数点对齐”的方法，而完全忽视了前面的极有价值的方法，最后导致学生只“知其然”，而“不知其所以然”。应该说，对“简单的一位小数的加减法”学生是有感觉的，但教师却漠视学生的已有知识经验，努力用自己的“教”代替儿童的“学”，这是对儿童学习数学的僭越。事实上，教师应该在学生多样化算法的基础上，启发学生阐释算理，在算法多样化的基础上引导学生对多样化算法进行自主优化，这才是真正意义上的“深度教学”。

“深度教学”要求教师在教学中要尊重学生的已有知识经验，尊重学生的数学认知方式、探究方式，搭建学生数学学习的“脚手架”，引导学生对数学知识进行自主加工、整理，帮助学生找寻最优化的学习路径，助推学生的数学学习。在这里，教师才真正是一个苏格拉底意义上的“助产婆”。

■三、基于“学科立场”，让教学富有“结构性”

结构性是数学学科的基本特性。尽管数学知识在教材中是以“点”的形态出现的，但数学知识本身却是有机的、不可分割的整体。基于数学的“学科立场”，数学教学应当体现“结构性”。“结构性”教学有助于形成学生数学学习的迁移力、整体思维力。

例如复习《圆柱和圆锥》，笔者着力沟通知识间的联系，让学生触类旁通，激荡学生的思维，让学生主动勾连知识。笔者分三个层次展开教学，一是“变”，首先出示一个正方形，通过多媒体课件将正方形垂直向上平移，平移后留下的轨迹形成一个长方体；将一个圆形垂直向上平移，将会形成什么样的立体图形呢？将一个三角形和一个梯形垂直向上平移，将会形成什么样的立体图形呢？学生展开动态想象。圆柱、三棱柱、四棱柱在学生的头脑中悄然生成。至此，学生体会到平面图形与立体图形之间的联系。二是“转”，将一个长方形以长为轴或者以宽为轴进行旋转，学生惊奇地发现，形成了圆柱体；将一个直角三角形沿着直角边旋转，形成了圆锥体；在此基础上，教师让学生动态想象，以半圆的直径为轴旋转半圆，会形成什么呢？以直角梯形的高为轴旋转，会形成什么呢？由此学生初步认识了“球”和“圆台”。三是“切”，将长方形沿着水平方向和竖直方向切一刀，学生发现，多出了两条“长边”和两条“宽边”，即“一刀两边”；将一个长方体或者正方体沿着水平方向和垂直方向切一刀，学生发现，多出了两个面，即“一刀两面”。将一个圆柱沿着水平方向切一刀，或者沿着底面圆心垂直切一刀，会多出什么呢？学生展开动态想象。四是“削”，将一个圆柱削成一个圆锥，圆柱和圆锥的底面、高和体积之间有着怎样的关系？猜想一下，将一个正方体削成四棱锥，将一个四棱柱削成四棱锥，底面、高和体积之间有着怎样的关系呢？这样的教学不再囿于知识的一隅，而是引导学生洞察知识的生成节点、生长节点、生发节点，在瞻前顾后、左顾右盼中生成数学结构化思维、结构化想象的深刻与睿智。

■四、基于“全景立场”，让教学富有“创新性”

基于培育学生核心素养的视角，数学深度教学不仅是一种理解性、迁移性、结构性学习，还是一种批判性、创新性学习。“全景立场”下的数学教学鼓励学生质疑问难、让学生习得“反思的倾向和技巧”。在教学中，教师通过一题多解、一题多变，形成学生崇尚理性的气质，让学生对每一个数学结论不轻信、不盲从，而是保持一种好奇、审慎的心态，坚持展开多元化思考。

例如教学《分数除法应用题》，学生对于这样的习题——“一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天。现在甲、乙合作，一共需要多少天完成”，各自调动大脑中的缓存知识。

生1：我认为，一项工程的量没有告诉我们，因而我们可以采用假设法，假设这项工程是修路，全长是600米，甲每天完成60米，乙每天完成40米，他们合作一天完成100米，因此需要6天。

生2：我反对，我认为这种做法在数学上属于“不完全归纳”，这样解决问题仅仅举一个例子很不严谨，必须举出多个例子，方能确证答案。

生3：我认为可以假设一项工程为a米长，这样甲的工作效率是■，乙的工作效率是■，工作效率之和是■，因而两队合作一共需要6天。

生4：老师，我还有一种方法不需要假设。我们可以将这一题看成分数除法应用题，那么一项工程就是单位“1”，甲的工效就是■，乙的工效就是■，它们的工效和就是■，因而甲、乙两队合作一共需要6天。

……

学生能够冲破思维定式的束缚、囚禁，主要得益于学生头脑中四通八达的知识网络节点。这些知识节点实质上是一种“缓存知识”，等待着学生的提取。教学中，教师通过问题激活学生“缓存知识”，学生超速链接，对知识的表征、思维犹如四通八达的电路，快速畅通，显现出强大的能力。

深度教学是培育学生核心素养的现实路径，也是课堂教学变革的方向。对于数学学科而言，深度教学不仅仅是让学生记忆、理解数学知识，而是要引导学生展开操作、批判和反思等多样化学习活动。对于学生而言，深度学习不仅是掌握数学知识符号，更为重要的是把握数学知识背后的背景、过程、逻辑和思想方法，形成学生认知、情感、思维交互卷入的深度学习状态。endprint