在计算教学中促进学生思维能力的发展

杨凯明

摘 要：思维能力是智力的核心。人们在生活、学习和工作中遇到问题，总是要“想一想”，而这样的“想”，就是思维。因此，在数学教学当中，我们可以通过厘清概念、把握实质、变换角度、压缩过程、综合运用等方法培养学生思维的缜密性、深刻性、灵活性、敏捷性、独创性，从而促进学生思维能力的发展。

关键词：计算；思维；能力

计算是一种有步骤、有目的的思维活动，计算教学不仅仅是要学生掌握数学知识的结论，还要让学生通过自己的发现、实践和内化，感受结论形成的过程。通过分析与综合、概括与抽象、具体化与系统化等一系列过程，对感性的材料进行加工并转化为理性的认识，从根本上提高学生的素质。那么在计算教学中如何培养学生的思维能力呢？下面笔者结合自己的教学实践，谈谈在计算教学中培养学生思维能力的几点做法。

■一、厘清概念，培养思维的缜密性

数学是严谨的学科，思维的缜密性是数学思维的重要品质之一。周密的数学思维要求学生观察问题要周到、严谨，做到有理有序，法则、公式、定律、概念等运用自如，判断恰当。在计算教学实践中，学生在计算过程中经常会抄错题目中的数字、符号，抄错草稿纸上的答案，或者四则运算时出现漏步、少写、运算顺序混淆等现象。此时，很多家长和教师都会对学生说：“你太粗心了，这么简单的计算都算错！”其实，这不能简单地认为是粗心、不仔细，而是学生对运算定律、性质、公式等概念混淆、模糊不清，对算式的某一特征没有仔细观察而主观臆断的决定，没有养成缜密的数学思维习惯。

在计算教学实践中，笔者收集了学生口算时常见的几种错误题型，如：①36+64-36+64，②3.2-3.2×0.1，③■×3÷■×3，④■+■×■，⑤7÷■-■÷7。这几种题学生往往不假思索地就写出得数：第①题等于0，第②题等于0，第③题等于1，第④题等于■，第⑤题等于0。显然，这5道题的答案都是不正确的，这是学生粗心算错的吗？显然，①③⑤都是受了3×4-3×4这种题型的负迁移影响，只要仔细观察、比较、分析，就会发现36+64-36+64，■×3÷■×3与3×4-3×4是不同的，运算顺序不同，运算法则就不同，如果前两题加了小括号，就改变了运算顺序，计算法则与3×4-3×4并不相同。同样的，第⑤题学生容易受思维定式及视觉效果的影响，误以为7÷■与■÷7形式相同，算式相同。

上述学生的典型错误能简单地说成是粗心、不仔细造成的吗？显然不能。究其原因，还是学生对运算定律、法则等概念没有完全理解，只是记住了表面形式就胡乱套用，没有养成缜密的思维习惯。因此，在计算教学中，我们可以加强学生对算式的表述，通过表述加深对运算顺序的理解。比如：18×36÷12可表述为18乘以36，再除以12，商是多少？计算顺序是先乘后除，而18×（36÷12）则表述为18乘以36除以12的商，积是多少？运算顺序是先除法，后乘法。在计算教学中，教师要多让学生对错误的计算进行辨别，找出錯误的原因。在小学数学教材中，很多公式、性质、运算定律都是计算的依据，要让学生弄清这些概念的本质，可以引导学生对特殊算式进行观察、比较、分析，如果不加以区别，势必使学生产生混淆，导致错误。

■二、把握实质，培养思维的深刻性

数学思维的深刻性，是指能从数学的感知材料中看出数与形的本质特征，理解它们的内在联系和规律，意在培养学生学会透过现象看本质，学会全面思考问题。在计算教学中培养学生思维的深刻性，是要让学生深入理解算理，让学生不仅知“算法”其然，还要知其所以然，明白计算方法的由来，在理解算理的基础上掌握计算方法，形成计算技能。

以北师大版五年级下册《分数除法（一）》为例。《分数除法（一）》重点是教学“分数除以整数”的计算方法，难点是让学生理解“分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数”的算理。那么如何让学生理解“分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数”的算理呢？

我们可以从以下几个方面来理解分数除以整数的算理：一是分数除法的意义；二是分数乘、除法之间的关系；三是商不变的规律。可见，因为引进分数，乘除法的意义都得到了扩展，除法和乘法可以在一定的条件下进行转化。基于以上认识，如何更好地引导学生理解分数除法的意义和分数除以整数的计算方法，教学实践可以有如下过程：

1. （1）板书算式1÷2，问：表示什么意思？（板书：把1平均分成2份，每份是多少？）

（2）1×■，表示什么意思？（也就是把1平均分成2份，每份是多少？）

（3）继续追问：这两个算式会有怎样的关系？

引导学生理解两个算式相等的理由：①两个算式表示的意义是一样的，都表示把1平均分成2份，每份是多少？②两个算式可以用同一直观图表示。③两个算式的得数是相等的。

2. 出示1÷3和1×■，问：这两个算式相等吗？为什么？

3. 追问：8÷4和8×■呢？2÷7和2×■呢？

4. 像这样的算式，你还能写吗？（学生举例）

追问：为什么除法算式能改写成乘法算式？有什么改写的诀窍吗？

用字母表示所有的算式，提问：“把a平均分成3份，每份是多少？”可以怎么列式？（a÷3=a×■）为什么相等？

5. 那■÷3你能算吗？

为什么■÷3=■×■？如果用直观图表示，应该是同一幅直观图。

追问：你能用图来说明这样的道理吗？

6. 学生自主活动，展示交流。

7. 教师动态板演画图，呈现■÷3画图的全过程。

8. 归纳分数除以整数的计算方法。

9. 分层次练习巩固。

（1）看图示变化，写出算式。

①多媒体演示把■平均分成2份，求每份是多少。（图1）

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图1

②多媒体演示把■平均分成3份，求每份是多少。（图2）

■

图2

（2）计算下列各题，并选择一道用画图的方法说明计算的道理。

■÷3 ■÷2 ■÷4

（3）填一填。

（ ）×5=■ （ ）×2=■

4×（ ）=■

（4）解决问题。（略）

从1÷2和1×■两道算式的意义入手，发现两者的意义都是“把1平均分成2份，每份是多少？”让学生充分理解两者的意义，明白算理；同时不断地追问乘法和除法两个算式为什么相等，不断地让学生说出两个算式的意义。以此类推，发现规律！这样一来，学生充分理解了分数除以整数的算理，发现了算法背后的本质。练习设计层次鲜明，通过多媒体演示动画过程让学生写出相应的除法算式。这样的设计很好地培养了学生思维的深刻性。

计算教学中要重视学生对算理的理解，“算理先行，理到法随”，计算教学中“理”通“法”自然顺。所以，教师应重视计算教学中“算理”的渗透，同时多层次地设计练习题，让学生的思维方式越来越多样化，思维层次越来越有深度。

■三、变换角度，培养思维的灵活性

数学思维的灵活性，表示思维过程的灵活程度，计算教学中主要体现在学生面临不同的题目时能灵活选择算法的能力。计算教学中不仅要让学生掌握一些常规算法，还要注重培养学生思维的灵活性，这就需要教师精心设计一些练习题，并对各种算法进行比较、分析，引导学生灵活选择算法，让学生的思维在不断地碰撞中实现智慧的生长、能力的提高。

例如：学生学完乘法分配律后，教师一定会让学生通过多组练习加以巩固。但由于前面学习过乘法结合律，学生很容易混淆这些运算律，因此教师有必要设计几组对比练习，引导学生灵活运用定律，提高学生思维的灵活性。

（1）乘法结合律与乘法分配律的对比。

88×125 88×125

=（80+8）×125 =11×8×125

=80×125+8×125 =11×1000

=10000+1000 =11000

=11000

在教学中，学生会把乘法结合律和分配律混着用，出现如下错误：

88×125

=（80+8）×125

=8×125×80

=1000×80

=80000

（2）对比相似题，选择合适的计算方法。

67×102-67×2 67×（102-2）

=67×（102-2） =67×100

=67×100 =6700

=6700

67×100-67×2

=6700-134

=6566

通过这一题组的对比，让学生明白，不同的题目要选择不同的方法，有些题目需要使用运算定律才能使计算简便，有些题目按照运算顺序直接计算就已经很简便了。

（3）同题对比，优化简算的方法。

24×7+7×75+7

=7×（24+75+1）

=7×100

=700

24×7+7×75+7

=7×（24+75）+7

=7×99+7

=7×（99+1）

=7×100

=700

当三组乘法算式相加时，部分学生往往不会想到三组一起用乘法分配律，因为大家熟悉的是两组算式的乘法分配律。学生的思维水平参差不齐，此时教师要善于通过不同解法的对比，促进学生自觉优化方法，提高思维水平。

再如：小数、分数加减混合运算中，是把小数转化成分数运算更简便，还是把分数转化成小数更简便？其实这要视题目而定，如：0.75-■，分数化成小数计算更简便；0.75-■，小数化成分数计算更简便；0.75-■，小数化成分数，或分数化成小數计算都可以。这组题目，被减数不变，随着减数的变化引起算法的灵活选择，可以培养学生思维的灵活性。

■四、压缩过程，培养思维的敏捷性

在计算教学中，思维的敏捷性表现在计算正确的前提下的计算速度，对计算中的问题能做出准确而又迅速的判断，这也是思维品质对提高学生计算能力的重要保证。

在日常教学中，部分教师不是很重视口算的训练，只要求学生算正确即可，很多可以口算的题目却要求学生慢慢用笔算，久而久之便弱化了学生的口算能力，学生的思维敏捷性得不到训练，就有可能导致学生在今后稍复杂的题目中算不快、算不准。因此，教师应加强口算训练，口算时要求学生注意力集中，反应快，训练学生的思维敏捷性；要让学生在计算的过程中动口、动手、动脑，有多种感官参与计算活动，做到视算与口算相结合，激发小学生的计算兴趣。在计算教学时，坚持3～4分钟的口算训练，结合新授的内容选择口算题，可以采取对口令、开火车、找朋友、摘苹果、抢答、口算比赛等游戏性质的练习形式，防止学生产生厌倦情绪，增强了趣味性，寓算于乐，使学生思维的敏捷性得到了训练。

学生思维敏捷性的培养还表现在使用运算定律、法则、公式、性质等进行计算时，能跳跃式地省去一些非中心的环节，压缩非必要的过程，头脑中能出现关键的运算步骤，使运算自动化。如：看到354-56-44，学生能直接写出354-100，中间省略了一步运用减法性质的过程；看到69×11+31×11，学生能直接写出100×11，中间省略了一步运用乘法分配律的过程。

在教学实践中，我们常会发现在使用运算律进行简便计算时，有些算式特点不明显，需要对这些算式进行加工改造，这就需要学生有敏捷的思维。因此，教师精心设计计算练习是锻炼学生思维灵活性和敏捷性的有效手段。如：endprint

33×9+66×17+99×19

=33×9+33×2×17+33×3×19（可省略）

=33×9+33×34+33×57（可省略）

=33×（9+34+57）

=33×100

=3300

日常教学中，教师只要经常进行口算、简算等有针对性的训练，不但能提高学生的计算速度，而且学生思维的敏捷性也会体现出来。

■五、综合运用，培养思维的独创性

思维的独创性是指思维过程的创新程度，它表现为在思考问题时有一定的创新、独到之处。在小学数学计算教学中，如何培养学生的创新能力是当前数学教学的重要任务，也是学生今后生活、学习和参加社会活动所必备的基本素养之一。

例如：比较■和■的大小，大部分学生采用先通分，再比较大小的方法，因为学完通分知识后，教师一般都会要求学生将异分母分数转化为同分母分数比较大小，但也有个别学生会给出下列两种方法：

①化成小数来比较，■=0.75，■=0.8，所以■<■；

②与1比较，■比1小■，■比1小■，■>■，所以■<■。

这两种方法其实比通分比较大小的方法更简单，此时教师应表扬用类似方法解题的学生，从而借助学生的内驱力来激发学生的创造性思维。

再如：12■×■，此题计算较为复杂，大部分学生会采用一般方法，即先通分，再用分数乘法的方法来做，但仍有很多学生得出的最后结果没有约分。当学生做完这道题时，筆者有意问学生有没有更好更快的方法，结果没有学生应答。于是笔者出示这样的练习，以启发学生思维：102×2.5得（100+2）×2.5；98×2.5得（100-2）×2.5。部分学优生马上找到新线索：12■×■=13-■×■=1-■=■，此时剩下的学生豁然开朗。此题看似没有乘法分配律算式的特点，但却综合运用了乘法分配律，创造了简算的条件。此题的做法打破了常规，采用了特殊的计算方法，激发了学生的创造意识，培养了学生思维的独创性。

思维的独创性还表现在要打破不良的思维定式。思维定式是思维的一种惯性，有消极的，也有积极的。积极的思维定式能促进知识的迁移，而消极的思维定式会干扰新知的掌握。不良的思维定式主要表现在按照固定的思维模式去分析新知识、解决新问题。比如：在360÷60，540÷90，100÷10等计算题之后放一道“120-60”，学生往往会不假思索地错算成120-60=2。

总之，在计算教学中，随处都有思维的训练点，培养学生的思维能力是一项系统工程，上述这五种思维能力是密切联系、相辅相成的，教学中教师只要寓思维训练于计算教学，适时点拨、比较、分析，适度训练，尽可能地利用较多的机会训练学生的思维，就一定能让学生的思维在计算中得到最美绽放。培养学生的思维能力，使学生养成良好的思维品质，这也是全面提高学生运算能力所必备的。endprint