浅析函数极值的应用

杨秀松

摘 要：函数极值是中学数学研究中的重要内容之一，涉及代数、几何、数论和组合等诸多数学分支的知识，同时函数极值有着极大的生活应用，无论是在各科的学习中还是日常生活中都有着极大的应用性。因此，现阶段对函数极值问题的探讨具有十分重要的意义，谈谈关于函数极值的应用。

关键词：函数极值；应用；概念

一、函数极值的概念

如果函数f（x）在点x0附近有定义，而且对x0附近的所有点，都有f（x）f（x0）），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极大（或极小）值，记做y极大值=f（x0）（或y极小值=f（x0）），极大值与极小值统称为极值.

1.根据定义知，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.

2.连续函数f（x）在其定义域内的极值点可能不止一个，也可能没有，函数极大值与极小值没有必然的联系.

3.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.

二、函数极值的应用

1.求极值

例1.设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-对称，且f′（1）=0.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值.

分析：原函数是三次函数，求导后是二次函数，所以根据二次函数的对称轴容易得出a的数值，再结合f（x）在x=1处的导数值求得b的数值，最后利用求函数极值的方法求出极值.

解：（1）因为f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b.从而

f′（x）=6（x+）2+b-，即y=f′（x）关于直线x=-对称，由题设知-=-，解得a=3.

又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12

（2）由（1）知f（x）=2x3+3x2-12x+1，

f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2）.

令f′（x）=0，即6（x-1）（x+2）=0，解得x1=-2，x2=1.

当x∈（-∞，-2）时，f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；

当x∈（-2，1）时，f′（x）<0，故f（x）在（-2，1）上为减函数；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上为增函数；

从而函数f（x）在x1=-2处取得极大值f（-2）=21，在x2=1处取得极小值f（1）=-6.

点评：求函数极值的一般步骤为：①求f′（x）；②令f′（x）=0，解方程；③判断极值.

2.根据极值求参数

例2.已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0，则m= ，n= .

分析：根据题意利用f′（-1）=0與f（-1）=0建立方程组求解.

解：f′（x）=3x2+6mx+n，由题意，

得f′（-1）=3-6m+n=0f（-1）=-1+3m-n+m2=0

解得m=1n=3或m=2n=9，但m=1，n=3时f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，即x=-1不是f（x）的极值点，应舍去，故分别填2，9.

点评：本题的解答充分体现了方程思想的应用，通过已知的极值求得函数解析式中的参数，但要注意对所求值的验证.

3.考查极值中的函数图象

例3.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象的是（ ）

分析：根据函数图象特征，对照四个选项逐步解决.

解：设h（x）=f（x）ex，则h′（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=（ax2+2ax+bx+b+c）ex，由x=-1是函数f（x）ex的一个极值点，所以ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0，所以c=a，所以f（x）=ax2+bx+a，若方程ax2+bx+a=0，∴Δ=b2-4ac=b2-4a2，当Δ=0时，b=±2a，即对称轴所在直线方程为x=±1，所以A、B正确；又设方程两根为x1、x2，则x1·x2==1，显然D不满足这一条件.所以选D.

点评：本题考查函数的极值与导数的关系以及二次函数图象的识别，难度较大，需要综合各方面的知识求解.

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