例谈由递推式求数列通项公式的常用方法

冯宇晨

摘 要：数列在高考数学中出现的频率非常高，所以，要想取得好成绩，就要对求数列通项公式的方法进行研究。基于此，对由递推式求数列通项公式的常用方法进行研究，其中包括公式法、累计相加法、累计相乘法、创造新数列法以及倒数法等几种方法。通过对以上几种方法的研究，提高递推式求数列通项公式的推导效率。

关键词：递推式；数列通项公式；变换法

一、数列通项公式

要想对数列通项公式的推算方法进行详细的研究，首先要清楚数列通项公式的计算方法以及本身的推导过程。数列通项公式的推导过程如下：在对数列通项公式进行推导的过程中，第一步要从数列通项公式中的特殊点以及概念入手。数列通项公式中通常会对n的范围作出明确的界定，在对数列通项公式进行推导的过程中，可以将范围内的特殊点带入数列通项公式中去，由此便可以得出整个数列通项公式的推导范围。大致方法为，将目前已知的公式，通过相加的方式，得出an的表达公式，进而推导出数列通项公式。

二、由递推式求数列通项公式的常用方法

（一）公式应用法

在利用递推式对数列通项公式进行推导的过程中，公式法是应用最为普遍的方法之一，公式法在应用的过程中，通常题干中会给出将要计算数列的公式，只需要对题干中的条件以及重要因素进行提取，通过找到两个公式之间的关系，并对其进行计算，对两个数列之间的关系进行推导。例如，通过研究{an}与{Sn}两个数列之间的关系，从而得出a1与S1，a2与S2之间的关系，进而实现对数列通项公式的推算[1]。

（二）猜想法

猜想法的运用主要是对已知数列通项公式的规律进行猜想，并运用数列通项公式的性质对猜想出规律的正确性进行证明。这种方法的应用重点在于利用已知数列通项公式对猜想数列通项公式的正确性进行证明，而不是对通项公式的猜想，这种方法称作猜想法。在运用此种方法进行数列通项公式推导的过程中，要保证对数列通项公式的普通推导方法非常熟悉，才能够保证在证明猜想公式正确性的过程中不会出现错误。例如，已知S1、S2、S3的数列通项公式，求Sn的数列通项公式。通过对已知数列通项公式的分析，对要求的通项公式进行猜测，并加以证明。

（三）累计相加法

累计相加法指的是將已知数列通项公式进行相加，从而得到一个新型的数列通项公式。通过这种方法还能够对数列通项公式进行求和计算，这种方法也是在对数列通项公式进行推导的过程中最常用的方法。

例如，已知S1、Sn，求Sn+1的数列通项公式，将已知的两个数列通项公式相加，得到的另一个数列通项公式就是所求的数列通项公式。

（四）累计相乘法

累计相乘法在实际中的应用范围要比累计相加法的应用范围小一些，这种方法在计算过程中的应用难度也大一些。大概的应用思路是将已知数列整体相乘，得到一个新数列。通常运用这种方法的数列公式结构比较复杂，往往会出现比值的情况，加上分母不能为零的特殊要求，所以在n的取值范围上要重点考虑，避免分母为零的情况出现。

例如，已知S1、g1，求g（S）的数列通项公式，通过对已知两种数列通项公式相乘求积的方式，推导出所求数列通项公式。

（五）创造新数列法

创造新数列法也叫做待定系数法，就是将已知的通项公式带入到要推导的数列通项公式中去，进而得出一个新的数列，也就是推导数列。通常情况下，这类数列推导题会在题干中给出几个常数，将常数带入进去，进行新数列通项公式的计算。这种方法的运用实质其实就是找到已知数列之间的相等关系，进而构造出一个平时练习中较为熟悉的通项公式结构模式，从而提高推导的准确性，降低推导难度。

（六）倒数法

倒数法主要是通过对已知数列通项公式采用取倒数的方式，从而形成一个新的数列通项公式，并对这个新的数列通项公式进行计算推导。在此种方法运用的过程中也应该注意分母不能为零，对n的取值范围进行精准的制定。另外，在形成新的数列通项公式之后，可以利用上文中介绍的方法对数列通项公式进行计算。在此种方法应用的过程中应注意两方面的问题，一方面是要取数列通项公式的倒数，另一方面要注意数列通项公式中差或者比的变化情况[2]。

随着数列通项公式在高中数学中的地位越来越高，人们对数列通项公式推导方法的研究也越来越深入。本文通过利用递推式对数列通项公式推导的常用方法进行介绍，提高了数列推导公式的推导效率，同时也降低了数列通项公式在推导过程中的复杂程度。由此可以看出，通过递推式对数列通项公式的常用推导方法进行完善，能够为今后递推式在数列通项公式中的应用奠定基础。

参考文献：

[1]王涛.例谈由Sn求数列通项公式的常用方法[A].教育教学研究（2016年版）第一辑[C]，2016：2.

[2]张颖.由递推式构造新数列求数列通项公式[J].才智，2010（6）：104.

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