基于差分方程和元胞自动机的交通阻塞模型

许珊珊　谭兵

摘要：在城市化进程发展快速的当下，车道被占用会带来一系列的消极影响。通过计算修正的道路通行能力值，得到事故所处横断面实际通行能力会下降并持续一段时间。通过t检验可以得到所占车道不同对横断面实际通行能力具有显著性差异。然后建立了分段差分方程模型，得到了交通事故所影响的路段车辆排队长度与其他变量间的关系。当交通事故发生是红灯或绿灯时，估算了车辆排队到达上游路口所需的时间，最后通过元胞自动机的模拟仿真得到了很好的验证。

关键词：通行能力；ARMA模型；分段差分方程；元胞自动机

中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.04.088

1引言

车道被占用是指由于交通事故等各种原因，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。在城市化进程发展快速的当下，车道被占问题情况复杂，车道被占用极大程度上影响人民的正常工作生活。为此，根据2013年全国大学生数学建模竞赛A题，采用数学方法分析建立相关模型，估算了其影响程度，将为交通部门处理类似问题提供参考。

2模型假设

（1） 假设视频 1，视频2 中的车祸发生于同一横断面面，并且都完全占用两条车道。

（2） 假设两个小区路口出入的车辆对上游车流量的影响可忽略不计。

（3） 假设所有车辆严格遵守交通规则。

3模型的建立与求解

3.1数据的预处理

实际通行能力是指单位时间内通过的标准小汽车当量数，考虑到视频中的实际情况，在本文中只考虑四轮及四轮以上的机动车、摩托车及电瓶车。并且对公交车，摩托车等进行当量化的计算。通过公路工程技术标准，采用标准小汽车当量数计算车型折算系数如表1所示。

由于红绿灯以30秒为一个相位进行变化，于是本文以30秒的时间为一个单位间隔对视频1中通过车祸横截面处对车辆进行计数，由于16：42：32为车祸发生时间，所以本文从此时开始计数。观看视频1我们可以得知，部分时刻的画面存在缺失。对缺失的数据我们采用MATLAB进行拟合得到。

可以建立t时刻的标准小汽车当量数Ct的计算公式如下：

Ct=St1+0.5St2+1.5St3

其中Sti表示t时刻第i种车型的数量。

t时刻实际通行能力Yt的计算公式为：

Yt=120Ct

3.2模型的建立

ARMA模型（auto regressive moving average model）自回归滑动平均模型，这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。首先对数据进行AIC检验，通过MATLAB编程得出当p=3，q=3时，AIC达到最小值即AICmin=9923776，最后进行chi2检验，h=0说明检验通过，拟合的曲线为：

Yt=2.48Xt-1-2.21Xt-2+0.73Xt-3+εt-2598εt-1+2.41εt-2-0.7968εt-3

实际通行能力是基本通行能力与各修正系数的连乘积，其计算公式如下：

Y=Y0*FEQ*FLT*FRT*FLA*FFR

其中基本通行能力Y0是理想情况下每条车道单位时间内能够通过的最大交通量，其计算公式如下：

Y0=3600t0=3600l0v3.6=1000vl0pcuh

其中l0=ld+lb+ls+lc

t0表示驾驶员反应时间，取0.5s， l0表示車头最小间距，ld表示驾驶员在反应时间内车辆行驶的距离，lb表示车辆的制动距离，ls表示车辆间安全距离，lc表示车辆平均长度。

由条件知车道宽度为3.25m，车辆平均长度为各车车长及其所占车流量比例乘积和，结合视频有v=33km/h，ld=5.56，lb=10，ls=5，lc=3.42。求得Y0=1388.66。

各修正系数为：主支路流量不平衡影响修正系数FEQ=1-0.32lnx，左转修正系数FLT=1-0.40x，右转修正系数FRT=1+0.1x，交叉平面口大型车汇入修正系数FLA=1+0.20x，结合实际观测出的各时段横向干扰修正系数的值FFR=0.8，综上可得到：

Y=Y0×[1-0.32×ln（qaq23）]×（1+0.1×q23qa）×（1+0.2×qlqa）×0.8

通过MATLAB编程求解得到模型值与通过视频统计的实际值做出对比如图1所示，从图1可以看出，该模型计算的实际通行能力值是真实可靠的。交通事故发生至撤离期间， 事故所处横断面实际通行能力会下降且会持续一段时间。

3.3差异性检验

为了说明Yt1，Yt2的数据之间是否存在显著性差异，我们通过SPSS软件对其进行T检验，首先假设Yt1，Yt2之间不存在显著性差异，检验结果如表2所示：

从表2可以看出，总体方差F=6.767， 对应的概率p=0.011 小于显著性水平=0.05，因此两总体方差具有显著性差异。对应的t统计量p=0.000小于=0.05，故假设不成立，两个总体的均值有显著差异。即同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响具有显著性差异。

3.4分段差分方程模型

由于交通流模型，考虑的是上游路段所有的车流量，不能清楚的计算出存在周期性的车辆数变化。我们在此基础上对其改进，将上游路口的红绿灯的变化来建立差分方程，这个过程分为两种情况：当发生交通事故时，上游路口为红灯或绿灯。

考虑红绿灯对流入车辆的影响，红灯和绿灯的持续时间Δt=30s，红绿灯时刻不同会导致队长的变化量不同，由于视频1中事故发生时正好是红灯亮的时候，于是有：endprint

S（t+Δt）-s（t）=λ1-μ+a1-a2（t∈（60k，60k+30））λ2-μ+a1-a2（t∈（60k+30，60k+60））

其中λ1表示红灯的时候上游路口流入量，λ2表示绿灯的时候上游路口流入量，表示小区路口流入量，a2表示小区路口流出量，μ表示道路通行能力。事故持续时间t的单位是秒，k=0，1，2，…。

令w1=λ1-μ+a1-a2，w2=λ2-μ+a1-a2 ，w1表示红灯下车辆的排队数，w2表示绿灯下车辆排队数。

解差分方程（8）得到：

S（t）=S（0）+k（w1+w2）+w1（t-60k）（t∈（60k，60k+30））S（0）+k（w1+w2）+w1+w2（t-60k-30）（t∈（60k+30，60k+60））

用MATLAB做出视频1中队长时间变化如图2所示。

根据图2可以发现，排毒长度呈现周期性变化。从式（9）可以看出实际通行能力越大路段车辆排队长度越小，路段上游车流量越大路段车辆排队长度越大。

3.5排队时间的计算

中间道路往往最长，直走的车辆所占比例最重为44%，S（T）=0.44Ml=140，其中l=6（m）为平均车距和平均车长之和，求出堵到路口需要的车辆M=53，考虑到系统的最大容量 Mmax=140×3l0=70， 随着时间的变化，当概率P53（t1）=maxP53（t）的时候也就是排队最有可能排到路口的时候。

当事故发生是红灯的时候，视频1的路段上游车流量为1500pcu/h（25puc/min），红绿灯到达车流量比例分配为：

红灯到达率：λ1=25×1.731.73+18.65=212（pcu/min）。

绿灯到达率：λ2=25×18.651.73+18.65=2280（pcu/min）。

在上面（8）式子中，a1=0，a2=1.5（pcu/min）。

对于上述分析，我们用MATLAB画出持续时间和排队长度的变化如图3所示。

有图3可知，对于考虑交通灯的分段差分方程模型，当交通事故发生时是红灯，第一次到达53辆车需要543.02秒，即车辆排队长度到达上游路口需要9.05分钟。当事故发生时是绿灯，第一次到达53辆车需要450秒，即车辆排队长度到达上游路口需要7.5分钟。

3.6元胞自动机模型的仿真

元胞自动机是利用简单编码与仿真细胞繁殖机制的一种非数值算法空间分析模型。为了形象地描述这个道路，我们将汽车流量問题离散化，在元胞自动机模型中，我们令每个元胞对应的实际长度为4m。为了在 MATLAB 中实现这个想法，我们建立了一个很大的矩阵来对这个道路系统（忽略了支路的影响）进行模拟。

我们对问题四所描述的情况输入到元胞自动机模型中，由于单次的数据具有较大的随机性，我们统计了100次排队到达上游路口所需要的时间，得到排队长度到达上游路口所需时间的平均值为468s（7.8min），做出了时间-频数直方图如图4所示。

参考文献

[1]JTG BO1-2003公路工程技术标准[M]. 北京：人民交通出版社， 2009.

[2]ARMA模型[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/ARMA%E6%A8%A1%E5%9E%8B/8048415？fr=aladdin.

[3]朱虹，张竞介，梁镇钊，等. 基于M/M/1/K模型的车道占用对道路通行能力影响的分析与预测[J]. 数学的实践与认识，2015，45（2）：225-231.

[4]通行能力[EB/OL].http：//www.docin.com/p-64439531.html.2013.

[5]中国大学生在线数学建模专题，车道被占用对城市道路通行能力影响–厦门大学[EB/OL].http：//special.univs.cn/service/jianmo/2013lw/.

[6]肖帕尔. 物理系统的元胞自动机模拟[M]. 北京：清华大学出版社，2003.endprint