与抛物线有关的动点问题解法赏析

韩乐

摘 要：动点问题一直是中考的难点和热点，考查起点较高，具有很大的挑战性和思维价值，全面考查了学生数形结合、函数与方程、分类讨论等多种数学思想，对学生的综合运用能力要求较高。主要介绍了构成特殊图形的动点问题几种情况，希望对实际教学及中考复习有一定的帮助。

关键词：动点；转化；分类

动点问题是历年来中考命题的热点，也是学生学习过程中感觉最难的题型，所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类题目。这类问题的解法策略有：（1）“动中求静，以静制动”是解决动态几何最有效的方法；（2）在“动”中找到最恰当的位置“静”下来是解决问题的起点；（3）在“静”下来后，能抓住“静”时的特征，寻找解决问题的突破口，是我们迈向成功的关键。

下面具体介绍几种动点问题的解法以供大家参考。

一、点动构成平行四边形

这种题常常需要根据平行四边形的性质“对角线互相平分”或平行四边形判定定理中的“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，结合两点之间的距离公式（或勾股定理）、中点公式、两条直线平行的条件以及点在函数图象上的含义来求解。

例1.如图1所示，抛物线y=x2+x-4与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，试探讨：当点Q在什么位置时，以P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形？

分析：这里有两个动点，初步审题也许会感到无从下手，但仔细观察会发现，这里有一个“不变量”OB，其只可能有两种身份：（1）平行四边形的边；（2）平行四边形的对角线。设Q（m，-m），当OB是平行四边形的边时，线段PQ也为平行四边形的边，且OB与PQ为对边，所以OBPQ，所以P（m，-m+4）或P（m，-m-4）。由于P在抛物线上，所以P点横、纵坐标满足函数解析式，分别代入求解，注意排除Q与O重合的情况；当OB为平行四边形的对角线时，PQ也为平行四边形的对角线，所以线段OB的中点也是线段PQ的中点，根据中点公式可以利用线段OB的中点坐标和点Q的坐标来表示出点P的坐标，同样根据点P在抛物线上这一条件也可求出相应的m的值。

二、点动构成梯形

这类题型通常根据梯形的定义（只有一组对边平行）、直线平行（不平行）条件、直线倾斜程度（斜率）k以及函数图象交点坐标求法来解答。

例2.如图2所示，抛物线y=x2-x与x轴交于A、O两点，点D（3，-2）为抛物线上的定点，点M为抛物线上的动点，试探讨：当点M在什么位置时，以O、A、D、M为顶点的四边形为

梯形？

分析：这里有三条定线段：OA、OD、AD，他们均可能作为梯形的底边，因此讨论的依据就是他们分别作为梯形的底边时点M应满足的条件。以OD为梯形的底边为例，当OD为梯形的底边时，线段AM也为梯形的底边，所以OD∥AM，且AD不平行OM，从而kOD=kAM，结合点A的坐标，求出直线AM的函数解析式，将其与抛物线的解析式联立，求得M点的坐标，再检验kAD是否等于kOM，如果kAD≠kOM，则所求出的点M的坐标满足题意，否则舍去该种情形。其余两种情况依此进行，问题即可迎刃而解。

三、实际问题应用

（2012年安徽中考）如图3，排球运动员站在点O处練习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h。已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

我们只解答第（3）问，通过分析观察，我们会发现这里的h实际上指的就是排球在运动过程中所能达到的最大高度，随着h的变化，排球的运动轨迹（抛物线的位置）也在随之不断发生变化，这样就给我们的解题带来了一定的难度。但是只要我们认真分析就会发现，这里恰好有两个相对静止状态：①排球恰好过网；②排球恰好不过界（落地时恰好落在边界线上）。排球恰好过网，则当排球到达球网正上方时，排球的高度要比球网高，即×9+h>2.43；而要恰不过界，则排球的落地点离出发点的距离要不比18米大或当x=18时y小于或等于0。即即×144+h≤0，二者结合得h≥。

动点问题作为中考考点已经成为必然趋势，问题的背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别需要注意关注图形的特殊性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置关系）。在复习过程中，我们应做好这方面的复习工作。

参考文献：

[1]葛香虎.中考数学“动点”型问题的解法剖析[J].新高考（升学考试），2015（12）：28-29.

[2]明欣.兵分三路，去抢占中考数学“动点”问题的制高点[J].新高考（升学考试），2016（12）：12-13.

[3]马涛.中考数学动点问题研究[J].数学学习与研究，2011（12）：47-48.

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