高中生物学教学中数学模型的构建与应用

程炜月

《普通高中生物课程标准（2018版）》将“模型”知识列为课程目标。模型方法实施的研究不仅符合新课程标准的要求，也是学生构建科学思维的必要一环。中学生物学教学将模型方法应用于课堂教学之中，以提高学生的科学素养和科学探究能力。其中构建数学模型作为发现科学事实，揭示科学规律的过程和方法，在生物学教学中有着十分重要的意义。构建数学模型有助于学生系统地、完整地学习和理解新知识，同时有助于学生运用数学工具解决一些复杂的问题，还可以习得获取知识的方法，提高解决问题的能力。

1高中生物教学中构建数学模型的方法和步骤（以细菌种群数量的增长为例）

第一步：模型准备。要构建一个数学模型，首先要了解事件内在的运行规律，明确建模的目的，并搜集必需的各种资料，尽量弄清楚对象的数学特征。例如，在条件适宜时细菌种群数量的变化数学模型的构建中，研究对象是“细菌”，其特征是“进行二分裂，每20min分裂一次”，建模的目的是探究细菌种群数量与时间的函数关系，进一步解释生物现象，揭示生命活动规律。

第二步：模型假设。提出合理的假设是数学模型成立的前提条件，假设不同，所建立的数学模型也不相同。此建模中提到的假设是“在资源和空间无限的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响”，即在“理想”的环境中，此环境一般指的是“资源和空间充足，气候适宜，没有天敌，没有疾病等”。

第三步：模型建构。根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量的数量关系。由细菌的二分裂特征，1个细菌分裂一次得到2个细菌，2个细菌第二次分裂得到4个细菌……通过归纳法，得出细菌增殖的特点满足指数函数的形式进行增长，因此用数学形式表达为N_n=2ⁿ，其中Ⅳ代表细菌数量，n代表分裂次数。

第四步：对模型进行检验和修正。在理想状态下细菌种群数量增长的数学模型是比较简单的，而生物学中大量现象与规律是极为复杂的，存在着许多不确定因素和例外的现象，需要通過大量实验或观察，对模型进行检验和修正。模型的构建是一个不断发展和完善的过程。

描述一个系统或性质，具体形式有图形、数据表、方程、不等式、函数等。根据数学模型的选定目的，做出简化和假设，可以解释特定对象的现象，预测特定对象的未来状态，是对现实对象的信息加以分析处理的结果。

2应用实例

2.1构建数学模型解决基因频率难题

[例1]A为抗病基因，a为不抗病基因，请回答下列问题：

（1）杂合子Aa连续自交，F_n中AA：Aa：aa比例是多少？

（2）杂合子Aa连续自交，在逐代淘汰隐性个体的情况下，Pⁿ中AA：Aa比例是多少？

f3）杂合子Aa连续自交，在逐代淘汰隐性个体的情况下，第N次自交中会出现在F_n中AA：Aa：aa比例是多少（即第N代没有淘汰aa）？

2.1.1根据题（1）构建数学模型

为了解决题（1），可以建立亲代Aa自交后各代的占比数学模型（表1）。

根据以上N代自交后代数学模型的规律性变化，可以直接得到题（1）的答案：

AA：Aa：aa=（1-1/2ⁿ），2：1/2ⁿ：（1-1/2ⁿ）/2，2=（2ⁿ-1）：2：（2ⁿ-1）

2.1.2根据题（2）构建数学模型

题（2）的常规思路数学模型如图1所示。

相对来说，题（2）的常规数学模型是一个繁琐的构建过程，但如果把题（1）的数学模型稍加变通，会更简便地解决题（2）：假设逐代淘汰的aa另外集中于实验室，以备科学实验，这样每代都不会影响AA：Aa的比例，因此可直接根据题（1）的数学模型得到答案，即AA：Aa=（1-1/2ⁿ）/2：1/2ⁿ=（2ⁿ-1）：2。

2.1.3根据题（3）构建数学模型

Aa自交后的每一代都会出现这样的数学模型，即AA：Aa：aa=1：2：1。最后一代也是如此，从而F_n中AA的总数仍为（2ⁿ-1）。因此第N次自交后，F_n中AA：Aa：aa=（2ⁿ-1）：2：1。

在解析题（2）、（3）时应用题（1）的数学模型，并做了一定的修正，比重建两个新的数学模型更加便捷。学生在理解遗传学知识的同时，感受到数学建模解决难题的乐趣，有利于训练严谨理性的思维，有利于在今后的学习中用科学思维解决实际难题。

2.2构建数学模型解决杂交实验难题

[例2]家蚕结黄茧和白茧由一对等位基金Y.y控制，并受另一对等位基因I、i影响。当某基因I存在时，基因Y的作用不能显示出来。现有下列两组杂交实验（图2），请回答下列问题：

（1）基因Y与基因I在染色体上的位置关系是____。

（2）若实验一的F2中结黄茧个体自由交配，后代中纯合子所占比例为（用分数表示）____。

（3）现有一类型家蚕与实验一的F。基因型相同，将该类型家蚕与实验一的F2中结白茧杂合子杂交，理论上后代结白茧家蚕中纯合子所占比例为（用分数表示）____。

（4）请分析实验二杂交实验图解，写出两亲本个体可能的基因型组合：____。

2.2.1根据题（1）构建数学模型

分析实验一可得：F₁白茧自由交配得到的F2中白茧：黄茧为13：3，则应该为两对非同源染色体上的非等位基因自由组合的性状分离比9：3：3：1的变形。根据F：性状分离比可以推出各代的基因型（图2）。

因此题（1）中基因Y与基因I在染色体上的位置关系是位于非同源染色体上。

2.2.2根据题（2）构建数学模型

根据题（2），把黄茧（YYii、Yyii）的蚕蛾作为一个新种群2，建立如下的数学模型，单独讨论Yy这对等位基因：Y的基因频率P为2/3，y的基因频率q为1/3，根据遗传平衡定律子代基因型频率为：YY=p²=4/9；Yy=2pq=419；yy=q²=1/9，且所有子代都是iiii。所以子代基因型及比例为：YYii=4/9（黄茧纯合）；Yyii=4/9（黄茧杂合）；yyii=1/9（白茧纯合）。故实验一F₂结黄茧个体自由交配，后代中纯合子所占比例为5/9。

2.2.3根据题（3）构建数学模型

根据题（3）把白茧杂合子（设为亲本1）作为一个新种群3，与F₁相同基因型YyIi（设为亲本2）杂交，建立如下数学模型：

亲本1中各白茧杂合子的基因型及比例为：2YyII；2yyTi；4YyIi；2YYIi，则新种群3中Y：y=1：1；I：i=3：2。当亲本1与亲本2杂交时，两对相对性状分别用配子概率计算，则后代基因型频率为：YY：2Yy：vv（1：2：1）；II：Ii：ii（3：5：2）。因此后代黄茧与白茧的比例为6：34，其中白茧纯合组合为：3YYII；yyII；2yyii，因此白茧纯合/白茧=（3+3+2）/34=4/17。

所以，F₂中结白茧杂合子与F₁基因型相同的个体杂交，理论上后代结白茧家蚕中纯合子所占比例为4/17。

分析实验二杂交实验图解，两亲本个体可能的基因型组合：IiYy×iiyy或IiYY×IiYy或IiYY×IiYY。其中特别值得注意的是容易漏掉的测交类型IiYy×iiyy。

通过数学模型的构建，有利于学生透过现象，排除非本质因素的干扰，舍弃次要因素和无关因素，突出反映事物的本质特征，从而使生命现象或过程得到简化、纯化和理性化，提高解决实际问题的能力。