竖式运算在高中数学复数教学中的应用

水小强

【摘 要】竖式运算在小学数学计算中的出现帮助小学生提高了运算效率，是小学数学教师的法宝。然而，竖式运算中学数学教材中却悄然消失。笔者在教学过程中发现竖式运算在复数四则运算中有着更好的作用，能够大大提高复数计算的效率。

【关键词】复数的四则运算；竖式运算

竖式运算在小学数学计算中的出现帮助小学生提高了运算效率，是小学数学教师的法宝。然而，竖式运算中学数学教材中却悄然消失。笔者在教学过程中发现竖式运算在复数四则运算中有着更好的作用，能够大大提高复数计算的效率。

复数的四则运算在人教[A]版教材中为文科选修1-2第三章第二节和理科选修2-2中第三章第二节内容。教材中基于第一节《数系扩充和复数的概念》规定了复数的加法与减法法则：

设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么

（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；

.

类比于实数的竖式运算，我们可以得出复数加法与减法的竖式运算法则：

复数加法竖式运算法则

复数减法竖式运算法则

例1.计算

解：

∴

复数运算的乘法法则：

設是任意两个复数，那么它们的积

.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

因为复数是由实部和虚部构成的，即实部+纯虚数，所以两个复数相乘每两项的乘积若为实数则在竖式运算中写在前边，乘积为纯虚数则写在后边。

复数乘法竖式运算法则：

例2.计算

解：原式

例3.

解：原式

复数的除法运算其实质是分子分母同时乘以分母的共轭复数，从而实现分母的实数化。即：

∴=.

根据除法法则其实质是分子分母分别进行乘法运算。分母中根据公式（a+bi）（a-bi）=a2+b2直接可得，从而只需进行分子的乘法计算。

例4.计算.

竖式运算在复数的四则运算中的应用，一方面提高了学生的运算效率，另一方面是对实数竖式运算的延伸，拓展了学生应用能力和类比推理能力。尤其是除法竖式运算，掌握起来难度较大，再加上不理解竖式的本质，很容易在计算的时候出现错误。竖式计算是指人们在处理数目较大的数字时，由于口算比较困难，而采用的竖式笔录形式，使整个计算过程变得格式化与顺序化，有效提高计算速度。而在竖式长期发展的过程中，也形成了一定的格式，对于加减来说，相同的位数要对齐，从个位数算起；对于乘法也是如此；而除法则要从最高位开始除。这样教师在教学的过程中，就应该注意不仅要使学生知其然，还要使他们知其所以然，以为后续的学习做好铺垫。

竖式是一种笔录计算的形式，历经千年已形成其固有的计算格式与顺序。这种格式与顺序是随着历史的发展而形成的统一认识，绝不是简单的规定。因此，竖式教学应该让学生经历竖式的再创造历程，理解“规定”背后的“道理”。

数学技能作为一种程序性知识可以有两种存在形式，一是“技术的知识”，表现为言语表述的操作要诀，解决“知道怎样做”的问题；二是“实践的知识”，表现为实际操作的方式，解决了“会做”的问题。一般认为，数学技能的学习过程，是“技术的知识”向“实践的知识”转化，并最终统一的过程。正是基于这样的认识，笔算教学一般更倾向先向学生传授竖式的书写格式、算理以及计算顺序，在明白怎样做的基础上进行技能的训练。

先“教”后“练”似乎成了笔算教学的一般模式。在这种理念下的竖式教学，教得枯燥，学得乏味，更多地是考验学生的模仿力与记忆力，学到了技能却丧失了探究的意识与能力。因此，竖式教学绝不仅仅是技能的习得，需要经历竖式的再创造过程，在探究过程中理解竖式原理，积累数学基本活动经验，增强分析问题和解决问题的能力。学生“眼中”的竖式计算顺序，不应该是局部的点与点的相乘，而是若干个一位数乘多位数积的叠加。所领悟的也不再是竖式的外部形式，而是其本质内涵。学习者对所学习的对象能在心理上组织起有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，才会产生理解。endprint