一类粘弹性流体的多重网格法及其收敛性分析

张宏伟， 邓 燕

1 引言

PTT粘弹流体属于非牛顿流体的范畴，是解决复杂流体动力学中经典且著名的模型之一.像日常生活中的沐浴露、润滑油、表面活性剂等；同时人体的血液、地层内的石油等都是复杂流体.PTT流体模型[1]就是解决此类复杂流体动力学中著名且经典的模型之一.同时此类流体模型问题一直都是有限元研究的一个热点.本文将应用v循环多层网格方法求解一种不考虑扭曲张量的PTT流体流动问题.

2 模型介绍

PTT粘弹流体模型的控制方程为[2]：

Ω为R2中边界为Γ的多边形区域，σ是粘弹应力张量，它是对称的，T为偏应力张量，u是流速，p是流体压强，f为单位体积力.偏应力张量 T 可分解为弹性部分和粘弹性部分，即 T=2（1-α）D（u）+σ，这里 α（0＜α＜1）为粘度比常数，D（u）=（▽u+▽uT）/2 是应变率张量.此外，粘弹应力张量 τ需要满足下面的本构方程：-g（ασ，▽u）=2αD（u），其中 λ 是流体的We数，g是双线性泛函，定义如下：

要研究完全的PTT型流体流动问题的数值方法存在很大的困难，因此我们仅研究不考虑扭曲张量的较简单形式的PTT型流体流动问题，即：

3 PTT流体模型的线性化

假设流体流经的是有界联通的区域Ω⊂Rd（d=2，3），其边界ΓLipschitz连续

假设H（div；Ω）是所有元素和散度都平方可积的向量函数组成的函数空间，即H（div；Ω）={v∈L2（Ω）d∶▽·v∈L2（Ω）}

该函数空间是Hilbert空间，并定义空间中元素的范数如下：

为了将非线性的本构方程进行线性化处理，我们假设粘弹应力张量σ有近似值σ1，即σ≈σ1，并假设该近似值具有如下性质：

因此有如下近似公式[3]：

将上述关系式带入PTT流体模型（2.6），可得到如下线性化的PTT模型：

4 PTT粘弹流体流动的v循环多层网格法

下面我们讨论用v循环多层网格法解决PTT粘弹流体的流动问题，具体步骤如下：

步骤一：（前光滑）在细网格Γh2上，对于任意的计算使得它们满足下列方程组：

步骤二：（残量转移）将（4.1-4.3）式与（3.1-3.3）式联合，得到：

然后利用L2投影算子Ql-1将残量转移到粗网格

5 收敛性分析

定理1（存在唯一性）：PTT型流体流动的简单形式（3.1-3.3）的v循环多重网格法存在唯一解

类似于文献[4]中的证明.

定理2：设问题（3.1-3.3）的解（σn，un，pn）∈Hk+（1Ω）4×Hk+（2Ω）2×Hk+（1Ω），步骤1的迭代解×Xh2×Qh2，那么对于一直三角剖分Γh2，存在常数C，使得：

我们又令

对于上式，利用Poincare不等式，我们有：

具体推导过程可参考文献[4].

定理4：设问题（3.1-3.3）的解（σn，un，pn）∈Hk+1（Ω）4×Hk+2（Ω）2×Hk+1（Ω）且问题（4.4-4.6）的迭代解），则这时存在与h2无关的正常数C使得v循环多层网格法的迭代解

证明：根据定理2，有：

又由相应双线性形式A的范数的定义，可知：

于是我们得到：

所以，我们有：

利用逼近性质和定理3，我们得到：

于是定理得证.

[1]王烈衡，许学军.有限元方法的数学基础[M].北京：科学出版社，2004：2-15.

[2]周少玲.非牛顿流体模型的最小二乘有限元方法[M].上海：上海交通大学，2015：12-15.

[3]李开泰，黄艾香，黄庆怀.有限元方法及其应用[M].西安：西安交通大学出版社，1992：12-15.

[4]张宏伟，鲁祖亮，粘弹性流体流动的V循环多层网格法[J].延安大学学报，2007，26（2）：15-19.

[5]张宏伟，鲁祖亮，粘弹性流体流动的混合有限元法[J].长沙电力学院学报，2006，21（4）：25-28.

[6]鲁祖亮，黄晓.OldroydB型流体的有限元解的存在唯一性[J].湖北名族学院学报（自然科学版），2008，26（1）：1-5.