一道2017年高考三角试题的“深度解析”

李俊岭

2017年高考数学全国Ⅰ卷理科17题是一道中档解三角题，考查了考生对正、余弦定理及面积公式的综合运用以及运算能力，属于常规的题型。但该题要求考生能对相关公式和定理灵活运用，能从整体上把握已知条件和要求解目标之间的关系。若考生不能对问题的结构特征与数学本质有着深刻的理解，就会面对众多的定理、公式而难以进行正确的选择和变形运用。笔者希望对题目的条件与结论作一番探究，对问题的深层结构进行揭示，提出新的解法，总结解题思路和解题规律。若有不当之处，还请同行们批评指正。首先给出题目：

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

（Ⅰ）求sinBsinC;

（II）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

一、解题思路分析

（1）第（I）问的思路分析。

题目的条件，是关于三角形边角的等式，結论是sinBsinC=，也可以看成一个三角等式。因而此题的求解方向就是从等式到等式的三角恒等变形。

我们要想进行有效的恒等变形，先从已知条件和结论之间的差异入手，条件中是含有边角的等式，结论中只有两角，要想消除之间的差异，就要进行边角的互化。这里因该有两个方向，一个是把条件中的边化成角，与结论相统一;另外一个思路是把角条件和结论中的角都转化成边。

（2）第（II）问的思路分析。

下面先对条件和结论进行一下梳理和变形。