例谈利用几何画板优化“动态圆问题”教学

李健华

[摘 要]几何画板操作简单，无须编制任何程序，具有使图形以及对象动态化的特点。磁场中的“动态圆问题”是高中物理的一个难点问题。充分利用几何画板的动态功能追踪轨迹圆的变化状态，将其隐性规律显性化，可有效突破此难点，激发学生的学习兴趣。

[关键词]几何画板；动态圆问题；高中物理

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0047-02

磁场中的“动态圆问题”是高中物理的一个难点问题，其中运动圆轨迹的规律变化确定对学生来说最为困难。在传统教学中，教师常采用讲授的方法，致使学生对圆的轨迹变化规律难于理解，特别是临界点情况。而利用几何画板的动态功能，可追踪轨迹圆的变化状态，把其隐性规律显性化，化繁为简，快速创设易于学生理解的学习情境。本文就动态圆问题的三种模型进行归类总结，并整合几何画板的功能特点，展示带电粒子在磁场中运动的动态过程，从而帮助学生突破学习难点。

一、入射速度的入射点与方向已知，其大小变化

模型一：垂直向里的匀强磁场中，不同速度大小的带正电的粒子沿与水平方向成θ角的方向射出。

利用几何画板改变速度v的大小，追踪圆弧的轨迹，如图1所示，不难发现，过定点A的放缩圆有以下规律：（1） 各动态圆均过定点A； （2） 各动态圆周期T相同 ； （3） 各动态圆的圆心所在的轨迹为直线； （4） 各动态圆的半径R各不相同。

【例1】（2013年南通模拟卷） 如图2所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角为θ=30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：

（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。

（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。

分析：通过几何画板的追踪功能，利用放缩圆法，动态地放缩粒子速度的大小，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹动态生成，展示在学生面前，如图3所示。在磁场中做匀速圆周运动的粒子，其运动速度越大，轨迹圆半径R越大。随着半径R的增大，其运动轨迹首先与上边界ab相切，此时轨迹半径最小，对应的速度为最小值。半径R继续增大，当其运动轨迹与下边界cd相切时，时间最长，求出此时的圆心角，然后再求出运动时间。

点评：在传统的物理教学中，学生很难理解这一动态过程，而利用几何画板的动态功能，点击速度v0箭头末端的红点改变速度的大小，进而生成如图3所示的一系列动态圆，可帮助学生理解“轨迹圆与ab、cd边界相切时是速度及时间范围的临界点”，从而有效解决问题。

二、入射速度的入射点与速度大小已知，其方向变化

模型二：在垂直纸面向里的匀强磁场中，带正电的粒子在磁场中A点，以相等速度v沿各个方向射入磁场中。

利用几何画板改变轨迹圆心O，从而改变速度的方向，追踪圆弧的轨迹，如图4所示，不难发现，过定点A的放缩圆有以下规律：（1） 各动态圆均过定点A；（2）各动态圆的运动圆心其所在轨迹为圆；（3）在纸面内，各粒子所能够到达最远的区域是以2R为半径构成的新圆； （4）各动态圆周期T相同。

【例2】（2004年广东高考卷） 如图5，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16 cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的电荷与质量之比[qm=5.0×107 C/kg]，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

分析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可求出粒子的半径，通过几何画板的动态功能，利用旋转圆法，很容易得出：圆轨迹在左侧与ab相切时为粒子能打中板的左侧最远位置，而在右侧当S点与ab板间距离恰为轨迹圆的直径时为能打中板的右侧最远位置。如图6所示，根据几何关系，可求出打中ab区域的长度。

点评：本题中左侧的临界值为相切时粒子打中ab板左侧最远位置，很多学生认为右侧也是相切时为粒子打中ab板右侧最远位置。然而利用几何画板旋转如图6所示的O点，及根据几何画板的动态功能及追踪功能，很容易得出如图6所示的右侧两个特殊位置的圆。只有当过定点S的圆与直线ab的交点与S点的距离为圆的直径时才是粒子打中ab板右侧的最远位置，这时可再解释“圆上的两点最远距离必为直径”。这种情境的展示把抽象的空间轨迹运动模型形象化，使学生解决问题事半功倍。

三、入射速度大小与方向已知，其入射点变化

模型三：带电粒子以大小和方向相同的速度射入有界磁场，但入射点不断变化。有界磁场的边界一般为直线边界和圓形边界。

如图7所示，直线右侧为垂直向里的匀强磁场，一簇带正电的粒子以相同的速度平行射入磁场，通过几何画板平移圆心，得到如图7所示的轨迹圆，发现其有以下规律：（1）各动态圆的半径R相同；（2）圆心在初速度垂直线上，并且离速度入射点的位置为R；（3）圆心的轨迹也为直线。

【例3】（2007年四川高考卷） 如图8所示，长方形abcd长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B=0.25 T.一群不计重力、质量为m=3×10-7 kg、电荷量为q=+2×10-3 C的带电粒子以速度v=5×l02 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域（ ）。

A.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C.从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边

D.从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边

分析：粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，先得到轨道半径，再找出圆心，通过几何画板平移圆，确定半径并分析可能的轨迹，不难得到正确答案为D，如图9所示。

点评：本题关键计算出半径后找到圆心，分析可能出现的各种轨迹，然后找出射点。课堂中通过几何画板，选上如图9圆心O点在ab边移动，自动生成如图9所示动态轨迹。这样，利用平移圆法，将变化的过程、动态的情境展示在学生面前，较好地帮助学生进行理解。

综上可知，在物理教学中，恰当、适宜地使用几何画板辅助教学，可为学生创设可视化、更有体验感的教学情境。这种深度融合信息技术资源的教学模式，可推进物理课堂教学的变革，实现信息技术与物理教学的有效整合。

（特约编辑 安 平）