浅谈多元函数极值的应用

张芳

[摘要]文章主要运用了多元函数极值的判定方法去解决在实际生活中利润最大化、效用最大化以及物理学方面的问题。

[关键词]多元函数;极值;判定方法;应用

一、利润最大化问题应用

多元函数极值在经济学利益最大化问题中应用较为广泛，对于企业单位来讲，借助多元函数的极值可以快速得到利润最大化途径，對于实际行为具有一定的指导意义。

例1：某企业在对商品进行广告宣传中，可以采取传统媒体报纸和现代媒体电视两种途径，通过单位以往的广告经验，对于这两种广告途径所获得的利润关系为：

x1为电视广告费用支出，X2为报纸广告费用支出，Z为企业商品销售的总收入（单位为万元）。根据广告与收益的关系，求出最佳的广告方式，使得企业的收益最大化。

解：企业收益值为商品销售值与广告投入费用值，设企业的最大利润为：

由于该函数的驻点矩阵为负矩阵，由此可得利润函数在驻点位置的值为最大值，也就是该企业广告策略的利润最大化，即电视广告费用为1/6万元，报纸广告费用为35/12万元，这样可以获得最大利润点。

企业单位借助于多元函数的极值可以很好地解决利润最大化的问题，通过极值的运用，企业不仅可以在支付和收入之间寻找一个均衡点以获取利润的最大化，还可以在限定的预算支出情况下找到费用支出的最佳点，实现资金资源的最佳利用和资源最优配置，这对于企业追求利润最大化来讲，多元函数极值的应用起到了很大的作用。

二、效用最大化问题

在经济学中，经常会涉及效用最大化问题，在解决该种类型的问题中，通常借助拉格朗日乘数法来对此问题进行解答。消费者在生活消费中，所追求的就是效用最大化，即对所购商品的满意程度的最大化。

例2：设消费者的效用函数u= U（x1，X2），预算约束条件为I= P1x1+ P2X2，则相应的拉格朗日乘数函数为：

式中λ为拉格朗日乘数，x1为消费者所购买物品的单价，X2为消费者所购物品的件数，求效用最大化的条件。

解：容易得到效用最大化的一阶条件为

由一阶条件中的前两个式子可得

，式中可以表示商品的边际替代率。

所以，效用最大化的必要条件为：两个商品的边际替代率等于两个商品的价格之比。由一阶条件中的前两个式子可得，式中拉格朗日乘数表示货币的边际效用。效用最大化的必要条件也可以表述为：消费者花费在各个商品上的最后一元钱所带来的边际效用都相等，且等于货币的边际效用。

在经济学中，通过对多元函数极值的应用，可以很好地将其运用到商品经济的消费中来，这样消费者可以借助于多元函数的极值问题找到一定的消费预算和效用的平衡点，帮助消费者选择性价比最佳的商品，达到消费者满意程度的最大化。

本文通过实际案例的方式研究了多元函数在不同领域的实际应用，借助多元函数极值的应用，对于企业利润最大化、消费者效用最大化以及生活实际问题等进行了解决，这对于各个领域都起到了一定的择优选配的作用，有效地实现了资源的合理利用和优化配置。现在，全世界都面临着资源缺乏的问题，如何使能源的分配和使用更加合理已经成为人们迫切需要解决的问题，而数学作为解决这些问题的工具必将发挥其作用。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）.第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.[2]胡永权.运筹学.第4版[M].北京：清华大学出版社，2012.

[3]谢惠民.数学分析习题讲义（下）[M].北京：高等教育出版社.2004.

[4]苏兴花.多元函数极值及其应用[J].科技创新与应用，2012 （5）：273-274