标度变换后Lorenz混沌系统的同步实现

熊 丽， 黄小娜， 石玉军

(1.河西学院 物理与机电工程学院， 甘肃 张掖 734000；2.复旦大学 专用集成电路与系统国家重点实验室， 上海 200433)

混沌同步是实现混沌保密通信的关键性问题，对混沌同步的研究具有广阔的应用前景。自从Pecora[1]和Carrol[2]提出了一种驱动-响应同步方案，并通过电子电路实现了混沌同步，使得对混沌控制与同步的研究成为了混沌研究领域的热点，使得混沌研究者们受到了极大的鼓舞，加快了混沌研究的速度。由于混沌运动蕴含着大量的信息，在保密通信、图像处理、激光物理、神经网络等诸多领域都具有广阔的应用前景，因而对混沌的理论研究发展到应用研究必将会产生巨大的经济价值。

目前，研究人员对混沌同步已经做了广泛而深入的研究，提出并实现了自适应同步、广义同步、基于状态观测器同步、基于耦合控制的同步等不同类型的混沌同步[3-9]。近些年，混沌同步在保密通信领域的研究得到了快速发展，因为混沌同步是实现混沌保密通信的必要条件[10-13]。鉴于混沌同步的最终目标是使得两个具有相同结构的混沌系统在初始值或参数存在细小的差别时，其相应状态的同步误差趋近于零。所以，利用自同步方式实现的混沌保密通信系统或多或少都存在一定的保密性和安全性不足的问题。而实现混沌保密通信的关键任务是解决混沌同步问题，故在混沌同步领域仍有很多问题值得研究。

本文主要研究标度变换后的Lorenz混沌系统的同步问题，利用主动控制法、自适应控制法和基于状态观测器控制3种不同的方法分别实现标度变换后的Lorenz混沌系统的同步，并用MATLAB软件做了仿真实验。

1 Lorenz方程的标度变换

基本Lorenz方程组如下：

(1)

图1 基本Lorenz混沌系统的奇异吸引子三维相图

式中：x,y,z是该Lorenz方程的3个状态变量；σ,ρ,β是该Lorenz方程的固定参数。当取参数为σ=10，ρ=28，β=8/3时，系统(1)是混沌的。其奇异吸引子三维相图如图1所示。

对系统(1)的仿真结果进行分析，观察运行结果中坐标提供的信息，x轴显示的范围是0～60，y轴显示的范围是-40～40，z轴显示的范围是-40～40。若显示xy和xz的乘积项，则数值明显会更大，如xy的乘积项大约是800，而xz的乘积项大约是900。因此，基本Lorenz方程的数值解是不便于使用通常电路元件实现的，或者说，如果把以上数据的数值理解为是电路的电压的伏特数，则设计必然失败。对于普通的混沌电路而言，方程(1)中的变量均为某个运算放大器的输出电压，因而其变化范围不能超过电源电压的数值。但是，从图1可以看出，基本Lorenz方程的数值解的各个变量的变化范围很大。因此，系统(1)是不能够使用通常的电路元器件来实现的。为了便于利用通常的电路元器件实现基本方程，在实际应用中，往往需要将基本方程中变量的变化范围进行适当的调整。这就需要利用标度变换的方法，即对原方程引入新变量：

(2)

以u、v、w表示的Lorenz方程(1)变成

(3)

即得

(4)

利用MATLAB软件对系统(4)进行仿真，得到相图如图2所示。由图2可见，系统(4)中各个参数的数值变化范围均在-10～+10 V以内了。由此说明，经过标度变换之后的Lorenz混沌系统的各个变量的变化范围都没有超过电源电压的数值，故在实际应用中完全符合电路设计的要求。

(a) x-y相图 (b) x-z相图 (c) y-z相图图2 标度变换后的Lorenz混沌系统的相图

2 标度变换后的Lorenz混沌系统的同步

所谓同步是指某一系统的运动轨迹收敛于另一系统，并相互保持一致的一种动力学现象。若考虑如下两个混沌系统，其中一个混沌系统为

(5)

则系统(5)称为驱动系统，或者在保密通信中称为发射系统。而另一个混沌系统为

(6)

则系统(6)称为响应系统，或者在保密通信中称为接收系统。其中，N为任意一个控制器，t为时间，矢量X,Y∈Rn，且分别具有n维分量(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)。另外，以上两个混沌系统(5)和(6)既可以是完全相同的，也可以是不相同的M(X,t)=M′(Y,t)，但是这两个混沌系统的初始条件都是不相同的。如果假设这两个混沌系统是通过所设计的控制器U的某种方式相互联系着，令X(t；t0,X0)和Y(t;t0,Y0)分别为系统(5)和(6)的解，并且满足函数的光滑条件，则当Rn的一个子集W(t0)存在时，从而使得初始值满足X0,Y0∈W(t0)，那么，当t→∞时，如果存在

；t0,X0)-Y(t;t0,Y0)‖→0，

(7)

2.1 主动控制同步法

设驱动系统为

(8)

当a=10，b=28，c=8/3时，系统是混沌的。则响应系统为

(9)

其中u1，u2，u3为控制器。

(10)

构造如下控制器：

(11)

将(11)式代入(10)式，可得

(12)

图3 主动控制同步误差曲线和波形图

2.2 自适应同步法

(13)

参数自适应律为

(14)

将式(13)代入式(10)，得到

(15)

其中a1，b1，c1为待定的控制参数。令参数误差为A=a-a1，B=b-b1，C=c-c1，则同步误差系统变为

(16)

图4 自适应同步误差曲线和波形图

2.3 基于状态观测器的混沌同步法

基于状态观测器同步法具有如下优点：不需要计算条件李雅普诺夫指数，工程上容易实现，在很大的外部干扰下仍能保持同步。所谓状态观测器[14]，就是一个在物理上可以实现且与被观测系统同阶的动力学系统，它在被观测系统输出信号(这里是可以物理测量到的)的驱动下，实现所有的状态变量或输出都逼近于被观测系统的状态变量或输出。同步状态观测器的数学定义和设计方案如下所述：

若考虑一个非线性系统为

(17)

式中A∈Rn×n，Bi∈Rn×n(i=1,2,3,…)，f：Rn→Rm(m≤n)，其中fi(x)为非线性映射，Ax为系统的线性部分，Bifi(x)为系统的非线性部分，Bi为系统的常数矩阵。则式(17)的输出为

u1i=Kx+fi(x)， (i=1,2,3,…)

(18)

其中K为待定系数。由式(17)和式(18)组成非线性系统

(19)

根据控制理论中的状态观测器的设计方法，可构造出式(19)的状态观测器为

(20)

A(y-x)+Bi[fi(y)-fi(x)]-Bi[-Kx-fi(x)+Ky+fi(y)]=

A(y-x)+BiKx-BiKy=Ae-BiKe=

[A-(B1+B2+B3+…)K]e，

(21)

f1(x)=x1x3，f2(x)=x1x2，u11=-Kx-f1(x)，u12=-Kx-f2(x)。

式(20)中的f1(y)=-y1y3，f2(y)=y1y2，u21=Ky+f1(y)，u22=Ky+f2(y)。则响应系统为

(22)

故称系统(22)是系统(8)的一个状态观测器。用MATLAB及Simulink进行仿真，取λ=(-5,-20+i,-20-i)，则K=(1.4692,1.1247,-0.7294)，取驱动系统的初始值为x1(0)=5，x2(0)=3，x3(0)=-1，响应系统的初始值为y1(0)=-3，y2(0)=-6，y3(0)=2，同步误差曲线如图5所示。从曲线图可以看出，在短时间内，同步误差e1、e2、e3就稳定到零点，即驱动系统(8)和响应系统(22)实现了状态观测器同步。图5(d)为达到同步时变量x3和y3的波形图，从图中可以看出，两个混沌系统的波形是相同的，即利用基于状态观测器的同步方法实现了驱动系统和响应系统的混沌同步。

图5 基于状态观测器同步误差曲线和波形图

3 结 论

为了满足实际应用的需求和电路设计的要求，本文研究了标度变换后的Lorenz混沌系统，将其转换成能够使用通常电路元器件实现的混沌系统，然后用主动控制法、自适应控制法和基于状态观测器控制3种方法分别实现了标度变换后的Lorenz混沌系统的同步。理论分析和仿真结果都证明了所设计的这些同步方案的有效性和可行性，且可以应用于混沌保密通信的设计，为混沌保密通信的实现奠定了基础，具有较高的实用价值。另外，将上述同步方法应用到基于超混沌系统或复杂混沌系统的保密通信领域将是我们下一步研究的课题。

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