基于可信性理论的含风电场电力系统电压稳定性评估

蒋 慧， 戴文俊

(1.淮南联合大学 机电系， 安徽 淮南 232038；2.淮南师范学院 机械与电气工程学院， 安徽 淮南 232038)

风能作为可再生清洁能源，已经被应用到风力发电中。但是由于风力发电的随机性和间歇性，使得风电场的功率输出具有随机波动性，当风电场并网后，将影响整个电力系统的稳定性[1]。其中，电压稳定性问题备受关注。因为风电场大多采用双馈感应发电机，需要系统提供无功支持，同时其功率输出随机波动，如果控制不当，有可能导致小型电网的电压失稳。

传统的电压稳定性分析方法都基于确定的模型，又因得到确定的模型而进行一系列的假设，使得分析的结果不太符合实际。为此，研究人员提出了概率统计的方法进行电压稳定性的分析和评估，以克服随机因素的影响[2-3]。

常用的概率方法主要有蒙特卡罗法、解析法以及近似法。蒙特卡罗法需要进行大量的随机抽样，抽样空间大，计算耗时[4-5]。解析法需要对各随机变量之间的关系进行线性化，常用方法为半不变量法[6-7]。近似法需要在明确的随机变量概率分布前提下采用近似公式求取待求变量的统计特性，代表方法为点估计法和一次二阶矩阵法[8-9]。

可信性理论是基础数学的一个重要分支，是公理化的模糊性与随机性的综合评估方法[10-12]。本文基于可信性理论，对受不确定参数影响的电压稳定性进行概率综合评估并进行二次模糊模拟优化得到每次抽样的各节点电压相对稳定性模糊评估矩阵。

1 可信性理论

综合文献[10-14]对可信性理论进行论述。设定论域Γ为非空集合，P{Γ}是Γ的幂集，Pos为P{Γ}上实数集R的函数，Pos称为可能性测度。对于P{Γ}的任意子集{Ai}有

(1)

式中，I为任意指标集，(Γ,P{Γ},Pos)称为可能性空间。

基于可能性测度，定义自对偶特性的实数集函数Cr，且满足

(2)

则称Cr为事件A发生的可信性测度，其中A∈P{Γ}，Ac为A的补集，(Γ,P{Γ},Cr)为可信性空间。

设ξ是可信性空间(Γ,P{Γ},Cr)上具有隶属度函数μξ(x)的模糊变量，其隶属度函数为

μξ(x)=Pos{θ∈Γ|ξ(θ)=x},x∈R，

(3)

则事件A发生的可能性为

(4)

根据公式(2)—(4)可得，对于任意实数集A有

(5)

上式称为可信性反演理论，则Cr{ξ≥x}是ξ大于或等于x的可信性测度。

对于可信性空间(Γ,P{Γ},Cr)上的模糊变量ξ，其期望值定义为该变量的Choquet积分：

(6)

若模糊变量ξ的隶属度函数μξ(x)为三角形，即ξ=(x1,x2,x3)，则其期望值为

(7)

若模糊变量ξ的隶属度函数μξ(x)为梯形，即ξ=(x1,x2,x3,x4)，则其期望值为

(8)

设模糊变量ξ的期望值有限且E[ξ]=e，则根据方差的定义式和可信性测度的次可加性得方差为

(9)

2 静态电压稳定性评估

2.1 可信性指标的选取

电压无功灵敏度分析方法是应用于静态电压稳定性分析的成熟方法之一，建立在节点的功率平衡方程基础之上[15]。

设电力系统的潮流方程为

f(x,u,λ)=0,

(10)

式中：状态变量x为节点的电压幅值和相角；控制变量u为电源的有功输出和无功补偿等；负荷参数λ为负荷的有功和无功等。

对式(10)线性化方程后得到

(11)

进一步求得状态变量的变化量为

(12)

式中：Sxu定义为状态变量x对控制变量u变化的灵敏度；Sxλ定义为状态变量x对参数变量λ变化的灵敏度[15]。

具体到实际电力系统的某一节点i的电压对同一节点无功注入的灵敏度为该节点V-Q曲线斜率：

(13)

通过式(13)可知，当Svq(i)有界时，系统是稳定的；而当Svq(i)趋于无穷大时，电压表征电压失稳。

同理得到某一节点i的电压对同一节点有功注入的灵敏度为

(14)

综合电力系统的潮流方程和式(13)、(14)得出电力系统线性化静态功率电压方程：

(15)

式中：ΔP和ΔQ为有功注入与无功注入增量；Δθ和ΔU分别为电压相角和幅值的增量，系数矩阵J为雅克比矩阵，矩阵的元素为Svq(i)和Svp(i)；JPθ、JPU、JQθ、JQU为J的矩阵块。

假设节点的有功功率注入不变，即ΔP=0，则得到节点电压幅值与无功功率微增量变化的线性关系：

(16)

式中：JS为简化后的雅克比矩阵，其对角元素为Svq(i)，即各节点的V-Q灵敏度。

式(16)表征出节点电压幅值的变化与节点注入无功功率的增量之间的线性化关系。即JS对角元素全为正值且有上界表示整个系统静态电压稳定，元素值越趋于0系统就越稳定。对角各元素值的大小表征各节点的静态电压稳定性。

综上所述，将可信性测度理论与灵敏度分析方法相结合，选取降阶雅克比矩阵JS的对角元素为静态电压稳定性的可信性评估指标

Li=Cr{f(v)i>0 且f(v)i<+∞}，

(17)

式中，Li为节点i的电压稳定性的可信性评估指标，Li∈[0,1]，其值越大表示JS对角元素为正的可能性越大，即该节点的电压稳定性越好；v为表征风速的模糊数；f(v)i为JS对角元素，即关于风速的模糊函数，文献[12]的实验结果表明，f(v)隶属度无论是三角模型还是梯形模型，对f(v)i的期望值影响不大。

在一定抽样次数下，由公式(17)的可信性指标并结合JS对角元素期望值及其方差(或均方差)对电压稳定性进行综合评估。

2.2 模糊综合评估模型

为了更好地分析电压稳定裕度，将公式(17)的可信性指标再进行模糊模拟处理，并根据可信性反演理论构成新的模糊综合评估模型。具体为：

在论域[0，1]定义3个模糊变量ξH、ξM、ξL作为非常稳定、一般稳定、临界稳定3个评估等级。则基于公式(5)的可信性反演理论有：

(18)

将每次抽样得到的f(v)i进行归一化处理至区间[0，1]，归一化过程如图2虚线框所示。因此归一化处理后的各评估等级隶属度函数分别如公式(19)—(21)：

(19)

(20)

(21)

于是得到每次抽样得到的各节点的电压稳定性评估矩阵：

(22)

根据公式(22)可以很明确得到在某个风速下的系统各节点的相对电压稳定裕度，基于各风速下的平均抽样，求出公式(22)所示矩阵各元素的期望值可以分析出系统电压稳定性薄弱的节点。

2.3 计算步骤

(1)可信性指标的求解步骤

设风速v为模糊数，v*=[v1,v2,…,vN]为均匀抽样得到的风速离散矩阵，f(v*)为某电压节点在不同风速下的降阶雅克比矩阵对角元素。

基于可信性测度理论的静态电压稳定可信性指标以及对角元素期望值和方差的求解流程如图1所示。

(2)模糊综合评估矩阵求解步骤

设f(v)i为该次抽样得到的降阶雅克比矩阵的某个对角元素，I表示电压节点集合，{f(v)i|i∈I}为该次抽样的降阶雅克比矩阵所有对角元素集合。

基于模糊综合评估矩阵求解流程如图2所示。

图1 可信性指标求解流程图 图2 模糊综合评估矩阵求解流程图

3 算例分析

3.1 算例描述

本文在IEEE14节点标准测试系统基础之上进行修改作为本文算例进行仿真分析，即在节点3接入一个风电机组，如图3所示。图中G为热电厂；DFIG为风电场，其中风电场总容量为40 MW(20台单机容量为2 MW的双馈风力发电机)；采用MATLAB7.1软件和PSAT工具箱为仿真工具。

图3 含风电场的IEEE14节点电力系统

3.2 抽样次数对评估结果的影响分析

为了研究抽样次数对评估结果的影响，f(v)隶属度函数采用梯形模型，分别对算例进行10次、100次和500次抽样，得到雅克比矩阵对角元素的期望值、方差以及静态电压评估可信性指标如表1所示。

从表1的数据可以看出，雅克比矩阵对角元素的方差随着抽样次数的增加而减小，说明结果的计算精度随着抽样次数的增加而提高。也可以看出，抽样次数为100和500的结果基本一致，说明当抽样次数达到一定程度后，抽样次数再增加对计算精度的提高并无益处，因此针对系统需要设置合理抽样次数，可以在确保精度的前提下减小计算量。

表1 基于不同抽样次数的JS矩阵对角元素期望值、方差及可信性指标值

3.3 与蒙特卡罗方法对比分析

为了研究基于可信性测度理论方法的有效性，采用蒙特卡罗法作为对比方法，分别在不同抽样次数下，对两种方法下的期望值、方差以及稳定性指标进行分析比较，如图4至图6所示。

图4 两种方法下的对角元素期望值 图5 两种方法下的对角元素方差

图6 两种方法下的可信性指标

从图4至图6可以得出：

(1)基于可信性测度理论方法的100次抽样和蒙特卡罗方法的600次抽样的期望值、方差以及可信性指标基本一致；

(2)基于可信性测度理论方法的100次抽样和500次抽样的计算结果基本一致(结合表1)，而基于蒙特卡罗方法的100次抽样和600次抽样的计算结果差别较大，其中从图5中可以看出，蒙特卡罗方法的600次抽样的方差明显比100次抽样的方差小，即蒙特卡罗方法的600次抽样计算精度高。

一般认为，在足够抽样规模的前提下，蒙特卡罗方法是比较贴近实际的[4-5]，通过对比分析可以得出本方法在较少抽样的情况下可以得到蒙特拉罗方法大量抽样的同等计算精度。由于大量反复抽样并对抽样值分别进行仿真计算工作量大，对于实际电力系统而言具有较差实时性，从而证明了本方法的有效性。

3.4 基于模糊综合评估模型的结果分析

从上述样本空间中随机选择一组所有电压节点的抽样数据，即雅克比矩阵JS对角元素，并进行归一化处理，如表2所示。

表2 抽样数据及归一化处理

根据公式(18)—(22)以及图2所示计算流程，得到该次抽样的各节点电压静态稳定性的评估矩阵以表格的形式表示，如表3所示。

表3 静态电压稳定性模糊评估矩阵

从表3可以看出，本次抽样时刻，节点1、4属于非常稳定的可信性为1；节点2、8隶属于非常稳定的可信性也很高；节点5、6、9、10、11、13属于一般稳定的可信性高，其中节点10、11、13的可信性为1；节点3、7、14属于临界稳定的可信性高，其中节点3的稳定性是10个节点中最差的；节点12的临界稳定可信性为0.567，偏向于临界稳定。因此通过表3所示的评估矩阵可以得到每次抽样时的各电压节点的相对稳定性，并根据评估结果调节电压稳定性较弱节点的无功。

4 结 论

本文基于电压无功灵敏度分析方法选取雅克比矩阵的对角元素取值范围为静态电压稳定性的可信性评估指标，并利用模糊模拟和可信性反演理论得到单次抽样的节点电压相对稳定性模糊评估矩阵。通过对结果的分析得出，上述方法在以较少的抽样次数得到精确的计算结果的同时实现每次抽样都能获取每个节点的相对稳定性，说明本方法具有一定的有效性和先进性。但如何将所有抽样得到的评估矩阵加以更深层次的分析利用，以及如何将可信性评估指标进行细分处理得到更准确的评估结果还需要进一步研究。

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