基于Copula函数的沪深股市相关性分析

李晓康

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院, 陕西 汉中 723000)

股市被称为经济的“晴雨表”，受宏观经济发展情况的影响，反过来，股市的变化也反映宏观经济发展情况。处于一定区域和市场的股市，受同样经济环境的影响，具有一定的相关性。同时，不同股市的市场主体、投资者结构不同，又具有各自的特点。描述和度量不同股市的相关性是金融分析的重要课题，可以为制定宏观经济政策和采取投资策略提供依据。

金融市场价格的变化，具有很强的波动性和聚集性，具有典型的尖峰厚尾特征，且有的时期波动很大。对于股市的研究，我们关注的是收益和暴涨暴跌时不同市场的相关性，因为这会使投资者面临较大的风险。

对沪深股市的研究主要有两类：一是从宏观经济的角度，研究股市与宏观经济相互作用的机理，侧重于定性研究；二是从沪深股市的市场变化进行定量研究，侧重于建模与实证分析。目前，对第二类研究，使用的主流方法有两种：一是采用GARCH模型描述市场的波动性[1-7]；二是采用Copula模型描述两个市场的相关性[8-13],两种方法都取得了较好的结果。

基于以上分析，本文采取尾部相关来描述和度量在暴涨暴跌情形时的沪深股市间的相关性。首先，选择某种分布来描述沪深股市收益的分布；其次，在Copula函数类中选择合适的函数描述沪深股市的联合分布及其相关结构。

1 收益的尾部分布的选取

对于收益，我们关注的是当市场出现暴涨、暴跌时的收益服从的分布，即当收益超过某个门限值时的分布，也就是极值分布。极值分布样本的选取有两种方法：

一种是区间选取方法，即把收益序列按照时间分为不重叠的小区间，从每个区间里选取一个极值，构成极值样本。对此类极值样本，用广义极值分布(Generalized Extreme Value Distribution,GEV)描述,分布函数如下：

其中，尺度参数σ>0，

另一种是超越阀值方法，即首先确定一个阀值，将大于阀值的收益样本都选为极值样本，描述此类样本的分布是广义帕累托分布(Generalized Pareto Distribution,GPD),分布函数是

其中

当lnH(x)>-1时，G(x)与H(x)有如下关系：

G(x)=1+lnH(x)，

即G(x)可看作H(x)的一个单调增变换，而单调增变换不改变分布的尾部特征。超越阀值分布能够更好地反映金融收益的风险，故下面采用GPD对收益序列的超阀值分布进行描述。

2 相关结构的描述

确定了尾部分布后，就需要选取一个合适的相关结构将两个尾部分布结合起来，这就是Copula函数。Copula函数建立了联合分布与边际分布间的联系。

引理[8]若F1(x1),F2(x2),…,Fp(xp),为一维边际分布，F(x1,x2,…,xp)为p维联合分布，则F(x1,x2,…,xp)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fp(xp)) ，C(·) 就是Copula函数。

由引理可知，一个多元分布函数可以由边际分布及Copula函数相关结构表示。

密度函数可表示为

推论[8]令ui=Fi(xi),i=1,2,…,p，则分布函数F的Copula函数CF可表示为

由推论知，Copula函数可由边际分布及联合分布表示。

Copula密度可表示为

常用的Copula函数有椭圆Copula函数和阿基米德Copula函数两类。

2.1 椭圆Copula函数

椭圆Copula函数有以下两种。

2.1.1GaussianCopula

其分布函数为

Copula密度为

其中ρ为相关参数，-1<ρ<1。

2.1.2t-StudentCopula

其分布函数为

Copula密度为

其中ρ为相关参数，-1<ρ<1。

2.2 阿基米德Copula函数

阿基米德Copula函数有以下3种情形。

2.2.1GumbleCopula

其分布函数为

Copula密度为

其中δ≥1,C为常数。

2.2.2ClaytonCopula

其分布函数为

Copula密度为

其中θ>0。

2.2.3BBICopula

其分布函数为

Copula密度为

其中θ>0,δ≥1,C为常数。

怎样估计Copula函数的相关参数及在Copula函数族中选取最优是相关性分析的关键问题。

3 相关参数的估计及最优Copula函数的选取

3.1 相关参数的估计

每个Copula函数中都有一个相关参数θ，它是联系联合密度、Copula密度、边际分布的桥梁，其关系如下：

f(x,y)=c(F1(x),F2(y);θ)f1(x)f2(y),

其中：F1(x),F2(y)与f1(x),f2(y)分别为二维随机变量(X,Y) 的边际分布与边际密度。

对相关参数θ的估计采用极大似然估计。对数似然函数为

由于边际分布未知，故用经验分布代替。经验分布的定义为

其中I[·]为示性函数。

由于对数似然函数的第二部分与参数无关，故用经验分布代替第一部分，可得参数估计为

上式的求解采用数值方法编程可得。

3.2 最优Copula函数的选取

最优Copula函数的选取即在Copula函数族中选取一个最优的Copula函数，选取的准则是考虑Copula函数与经验Copula函数之间的平方欧式距离，即

4 基于Copula函数的沪深股市相关性实证分析

4.1 样本数据的选取

4.2 样本数据的统计特征分析

对选取的样本数据进行描述性统计，结果如表1所示。

表1 样本数据统计

从表1可以看出：深市平均收益略高于沪市；深市波动性(方差)略大于沪市；两市偏度均小于0，呈左偏态分布；峰度均大于3，呈尖峰态分布。

由以上描述性统计结果及收益率直方图1、图2可以看出，沪深股市对数收益率具有明显的金融数据尖峰厚尾的特征。

图1 上证指数对数收益率直方图 图2 深证指数对数收益率直方图

4.3 沪深股市收益率相关性的Copula函数

对沪深股市收益率的相关性,利用Copula函数进行描述。关键是在Copula函数类中选取合适的Copula函数。

下面通过对数收益率的样本数据直观分析来确定合适的Copula函数。

由图3可以看出，二元频率直方图具有基本对称的尾部，即二元联合密度(Copula函数)具有对称尾部，故可选取二元正态Copula函数或二元t-Copula函数描述其相关结构。

图3 沪深股市对数收益率二元频率直方图

利用MATLAB统计工具箱中的函数copulafit对Copula函数的参数进行估计。

对于正态Copula函数，估计的结果是：ρ=0.9295，故二元正态Copula分布为

Copula密度为

其密度函数及分布函数图如图4、图5所示。

图4 二元正态Copula密度函数图 图5 二元正态Copula分布函数图

对于二元t-Copula函数，参数估计的结果是ρ=0.9336，自由度k=4,故二元t-Copula分布为

Copula密度为

图6 二元t-Copula密度函数图 图7 二元t-Copula分布函数图

其密度函数及分布函数图如图6、图7所示。

4.4 正态Copula函数与t-Copula函数的比较

计算正态Copula函数与t-Copula函数的相关参数、kendall秩相关系数、Spearman相关系数，结果见表2。

表2 Copula函数参数估计表

可以看出，无论是相关参数、kendall秩相关系数还是Spearman相关系数，t-Copula函数与样本数据的相对误差均较小，t-Copula函数比正态Copula函数更接近与样本数据，说明t-Copula函数能够更好地反映沪深股市对数收益率的尾部相关性。

5 结 论

沪深股市的对数收益率具有较强的相关性，样本数据的统计特征表明其具有对称的尾部。二元正态Copula函数和二元t-Copula函数均具有对称尾部。但二元t-Copula函数和样本数据的尾部相关性更加接近，利用二元t-Copula函数能够更好地捕捉到其尾部相关性。结果表明，沪深股市具有共同的大涨大跌特性，呈现出共同的尾部变化特征，可根据一个市场的变化特征判断和估计另一个市场的变化特征，为投资行为提供依据和参考。

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