一种数列通项公式的求解方法

王玉霞

摘要：在与数列有关的题目中，有一类问题是较难解决的，即已知数列的递推公式，求数列的通项公式。有些题目我们是不能够通过比较简单的观察与运算求解的。或许这里所介绍的方法会给我们在“山重水复”之际一种“柳暗花明”般的思路。

关键词：判别式法；递推数列；通项公式

数列求解问题中有遇：已知a1及 ， 求 的通项公式问题。

为了求解此递推数列，通常的方法就是寻找一个新的数列bn，使其为通常所熟识的等差数列或者是等比数列，而通常构造bn的方法是观察法和待定系数法。

引入系数x，将上式整理为

通过观察，如要构造新的或等比或等差的数列，需要x满足特殊的要求，即 。则

Ⅰ.对于 ，有 ，（※）式化为

则可得

Ⅱ.對于 ，（※）式分为两个

①÷②得： 从而易得等比数列 。

Ⅲ.对于 ，按照Ⅱ，同样可得

因为此时x1，x2是一对偶虚数，故而 ，从而可得

所以若 满足周期数列条件，则须 。

以下举例说明此法的用法。

例1、已知 ， 求 的通项公式

分析：将式中的的an与an+1都换为x得到 。

解：在递推公式的左右两边同减3，得到：

两端取倒数得： 令

可以得到： 再由

为以 为首项， 为公差的等差数列，

即可得 的通项公式。

例2、已知 求 的通项公式。

分析：将an与an+1换为x得到 方程无解，那么 必是一个周期数列。

可以用数学归纳法证明 是一个周期数列。

例3、已知 求 的通项公式。

分析：将an+1与an都换为x，得到方程

解：将递推式的左右两端分别减去3和2，得到：

①÷②得到：

设

是以 为首项，以 为公比的等比数列，

这样即可求得 的通项公式。