良性数学认知结构及其教学思考

祝沛

[摘 要] 数学认知结构的形成必然会经历一个长期学习与积累的过程，学习者将所学知识重新进行整理、组合与运用都得益于其知识认知结构的圆满构成，学生在数学认知结构上的建构与发展是不断获取新知识、不断同化顺应并再次建构、完善知识体系的过程.

[关键词] 数学认知结构；表征；实现途径

广大教育工作者与专家因为自身理念与理解角度的差异对良好数学认知结构的界定与表述各持不同的理解，事实上，良好数学认知结构所具备的表征也因为观念与角度的差异而展现出各种不同，本文从以下几个方面就其结构进行了分析，然后就如何帮助学生构件良好的数学认知结构进行简单的分析.

良性数学认知结构的表征分析

1. 具有完备的观念

一个数学问题的圆满解决必然需要与之相关的解题能力的支撑，而这一能力又需要足够的相关知识与已经形成的知识结构的支撑. 比如说，高三数学的备考复习一般分为三轮，这三轮复习针对的分别是基础知识、专题知识、综合能力训练这些内容. 由此可见，高考复习的任务除了数学基础之外还包含专题知识系统的训练，这能使学生在专业知识的积累中体验更多的观念并因此形成完备的知识体系. 例如，高考压轴题的训练不仅是对学生综合能力的训练，也是对学生备战高考信心的训练，更是对学生是否熟练掌握基础知识与原理的考查. 各科高三教师在自身研究的学科领域中自然都具备尤其出色的业务能力，不过，很多教师在跨学科领域中的表现却往往不见得能够比学生出色，数学教师也往往因为物理、化学等学科理念的欠缺一样比不上学生. 联想生活、社會各领域的专家与新手一说，我们也不难理解专家与新手一说背后隐藏的正是一个人在其专业领域所具备的能力高低，这自然是由其所具备的专业知识、理念的充分与完备所决定的.

2. 产生方式稳定灵活

一个人解决问题的能力往往会受到多方面因素的影响与制约，知识的多少很多时候并不能说明其能力的高低，很多时候，具备充分、完备知识的个体在解决问题时也不一定能够展现出出色的能力并彻底解决问题，由此可见，充分、完备的观念与知识在解决问题时虽然是必须具备的，但决定解决问题的关键还是在于其观念获得的方式以及过程，观念与知识在解决问题的过程中只是一种必要的存在. 学习者一旦面对问题条件信息就会自发调动自身相应的学习活动，外显的行为反应表象、内隐的心理活动与心理运算等都包含在这里所说的学习活动中.

比如，学生在接触四棱柱、平行六面体、直四棱柱、直平行六面体、正四棱柱等诸多概念时往往会因为混淆概念而生出很多错误，事实上，学生单独描述这些概念时都能表现出一定的熟练程度，相当一部分的学生在某一几何体的知识结构上也能够基本形成自己的理解. 比如，教师要求学生表达怎样的几何体是长方体时，学生往往能够表达出上下底皆为长方形且侧棱垂直底面的四棱柱即为长方体的回答，这说明学生对长方体的概念已经有了一定的掌握. 然而，教师如果用什么样的直四棱柱是长方体这样的问题来提问学生的话，学生因为相关知识问题的变式往往会在回答上表现出差强人意的一面了. 因此，判断学生是否真正彻底、牢固地掌握某一知识体系的产生方式，我们应该观察其在一定问题情境中是否能够对条件信息进行识别并做出正确的活动反映，学生如果未能获得直四棱柱这一概念的产生方式，他们在解决与之相关的问题时虽然已经具备一定的知识组块或言语观念，但完美解决此类问题还是会存在较大差距的.

3. 具有问题解决的策略

在解决数学问题时，教师往往表现出比学生更强的能力，这主要是因为教师在掌握相关知识组块的基础上已经具备了反复运用与总结的经验与能力，而且，教师在考试大纲、试题研究、教学钻研上的不断更新也使得教师的数学认知结构日复一日地得到更新与整合，他们在教学与研究中的经验与观念也因此不断得以更新与丰富，教师在解题上的表现自然会比学生要好很多. 因此，具备一定的解题策略也是良好数学认知结构形成所必须具备的，学习者在解题活动中所表现出的策略与观念往往能够决定其解题的质量. 分析与解题时可以运用的策略有很多，化繁为简、顺推与逆推结合、特殊与一般等都是解决问题中经常会运用到的，不过，这些观念的形成必须经历长期的学习、反思、总结而逐步积累并最终达成.

充分渗透数学思想方法，促进认知结构良性建构

1. 备课时渗透数学思想方法

教师在任何一个数学教学活动的组织中都是极为关键的，在课堂教学之前的备课环节中自然也是如此，因此，教师在教学之前的这样一个准备环节中就应该对相关数学思想方法进行充分的挖掘. 大量数学客观所存在的事实经过抽象和概括最终形成数学知识，掌握数学思维方法才能真正掌握数学事实，由此可见，隶属于两个不同结构体系的数学事实与思维方法之间是相互补充与密不可分的，它们都是依赖数学知识体系而客观存在的结构体系. 学生能够在数学学习活动中自发理解数学知识及其隐藏的数学思想方法是教师开展数学教学活动最佳的效果，因此，教师在数学教学以及教学前期的准备环节中就应该有意识地将数学知识中隐藏的思想方法进行充分的挖掘与提炼，将每一个知识点或每一段数学知识体系中所隐藏的思想方法充分挖掘出来并设计进自己的教学活动中，结合学生的认知结构特征将这些思想方法在具体的章节或者例题、习题中进行渗透，使得这些数学思想方法随着教学活动的具体推进被逐步地体现与运用，教师在这一渗透环节中应该着重考虑这些思想方法的渗透应该采取哪些学生比较容易接受的教学策略以促成学生的真正领悟.

2. 解题中渗透数学思想方法

解题能力是数学这门基础性很强的学科所具备的一个重要特征. 著名数学教育家波利亚早就发表过掌握数学就意味着善于解题这一重要的言论. 学生在具体的解题活动中不仅将解题任务进行了实施，也在此过程中习得了一定的解题能力，解题过程虽然是数学知识公式之间的不断转化、逻辑推理证明以及结论发现等活动的外在呈现，但我们通过这些外显活动的呈现往往可以看到解题中的过程探索、方法选择、思路发现等一系列的思维过程，每一步的简化、转化、分解、化归都在一定的数学思想方法的引领下朝着最终的目标前行，数学思维、思想方法在每一步的解题活动中螺旋上升并最终通过数学知识内容一一体现. 数学思想方法在探求已知与未知之间逻辑联系的解题活动中存在很多的具体方式，在学习中运用数学知识不断剖析、思考数学问题时往往被逐一发现与挖掘，并最终凭借数学知识之间的内在联系形成数学学科所特有的纵横连接.

本题中的解题思路隐藏很深导致解题的方法很难被发现，但如果能够对所要证明的不等式进行剖析，最终的证明通过等价转化以及构造函数并证明其单调性的方法还是完全可以解决的. 高考试题中的压轴题很多都是对函数与不等式的综合运用的考查，难度自然是相当大的，而且一般没有固定的解法，不过，等价转化这一重要的思想方法却在这一类题中得到了很多的体现与运用，这些难题在等价转化思想的正确运用中往往能令解题的目标得以明确.

学生在数学学习中是否能够形成良好的数学认知结构往往能够决定其数学学习的效果，但良好数学认知结构的形成又离不开学生对知识组块与材料元素的多方面积累与长久运用，数学思想方法能够有效且全面地对数学知识进行包容与概括，知识的本质与内涵也会因此在整个学习过程中得到很好的体现. 学生如果能够真正掌握数学思想方法并能熟练、灵活地运用，他们在数学学习活动中才能将数学知识的迁移与发展做到游刃有余.