核心素养背景下高中数学抽象再思考

袁春娟

[摘 要] 核心素养已经成为当前数学教学的新背景，数学抽象是数学教学的永恒主题. 在核心素养背景下思考数学抽象，有着重要的历史意义与现实意义. 其具体可从理解核心素养背景下的数学抽象概念、发掘核心素养背景下数学抽象的内涵、在数学抽象的三个阶段中培养学生的数学抽象能力等角度来进行. 在核心素養背景下，数学抽象可以上升为数学抽象素养.

[关键词] 高中数学；数学抽象；核心素养；教学思考

数学抽象与数学学科如影随形，数学抽象是数学的特质. 在高中数学教学中，数学抽象历来就是教学的一个重点，是体现数学学科味道的一个关键. 当前，高中数学教学正面临着核心素养的引领，而数学学科核心素养的组成部分中，数学抽象又是一个重要内容，因此在核心素养的背景下对数学抽象进一步思考，有着重要的历史意义与现实意义. 本文拟从四个方面进行阐述：

核心素养背景下对数学抽象的再思考

什么是抽象？目前比较公认的定义是：抽象是人类认识世界的科学方法和思维活动，是把握事物内部联系与本质特性的过程. 在抽象概念理解的背景下再认识数学抽象，可以得到数学抽象的定义是：从实物中抽象出以数与数量关系、图形与图形关系表征的规律与结构，并将之以数学符号或术语进行表征. 数学抽象是一个逐步抽象以形成数学理论的过程.

核心素养要求培养学生的“关键能力”，随着社会经济的飞速发展，今天的人们面临的是一个更为纷繁复杂的世界，在认识这个世界的时候，需要学生拥有透过现象看本质的意识与能力，而这个意识的形成与能力的培养，与数学抽象显然是密切相关的. 也就是说，数学抽象是属于学生发展所需要的关键能力，数学抽象能力的培养是能够支撑学生数学学科核心素养的培育的.

另一方面，我们认为高中阶段的数学学习，并不完全是公式与符号的堆砌，也不只是基于解题需要的逻辑推理. 从更广的角度来认识数学抽象，应当认识到数学抽象其实是联系数学与生活的重要桥梁，数学内容由现实生活中抽象得到，而抽象所得到的数学知识又可以反作用于学生对现实生活的理解. 于是数学与生活之间因为数学抽象，就成为一个有机整体. 从这个角度讲，数学抽象实际上联系着数学与生活，抽象的切入口是形象的生活，而落脚点则是抽象的数学规律.

这样，我们形成的对数学抽象的理解，既面向了学生的现实，又瞄准了数学学科核心素养的培育需要. 笔者以为，如此理解数学抽象，才能真正为核心素养的培育提供正确的理论基础.

高中数学教学中数学抽象的价值内涵

其实，作为一个专业的数学概念，数学抽象有着丰富的价值内涵，我国数学教育从1958年开始就对数学抽象展开了研究，由此可见数学抽象的强大生命力. 今天我们研究数学抽象，不能只是从数学抽象本身进行，还应当从历史演变中认识其意义，这样才能为将来的核心素养背景下的数学抽象，做出准确全面的理解与应用.

数学抽象首先要回答的问题是：数学抽象是什么？尽管上一点已经对数学抽象的定义做出了界定，但从内涵与外延的角度来认识数学抽象，会发现其仍然有定义表述之外的更多的理解. 有人从抽象是一个过程的角度，认为数学抽象是一个过程；有人从抽象的目标指向角度，认为数学抽象是一种活动；有人从数学学科思想方法的角度分析，认为数学抽象本身就是一种数学方法；还有人从能力培养的角度，认为数学抽象是一种能力. 在上述定义中，这样的四种理解其实均有不同的体现. 同时应当看到的是，在上述四种内涵理解中，可以逐步发现“人”的意义，即对数学抽象的认识已经逐步从数学本身转向了对人（学生）的关注，笔者以为这与更宏观的“以人为本”的教育理念是一脉相承的.

在高中阶段，数学抽象更多地被理解为对实物的抽象，而实际上除此之外，数学抽象的对象还有很多，譬如对操作过程的抽象，对思想方法的抽象，对数学意向的抽象，对数学符号、数学模式的抽象等. 这些抽象或多或少地存在于高中数学教学过程中，构成了高中数学异于其他学科的最显著的抽象特征. 因此我们认为，数学抽象是反映数学学科特征最本质的特征，数学教学中对数学抽象的教学，要立足这样的认识实施教学，才能彰显数学抽象的本质意义，才能真正瞄准核心素养培育的需要.

在数学抽象过程中培养学生抽象能力

毫无疑问，学生的数学抽象能力只能在数学抽象的过程中培养得出. 需要注意的是，这里所说的数学抽象的过程是具有层次性的，而不是那种简单的数学抽象甚至是随意的数学抽象，根据著名数学教育家史宁中先生的研究，数学抽象的层次性，主要体现在如下的三个方面：

第一个层次：简约阶段. 这个阶段的数学抽象体现为把握事物本质，体现为将复杂的问题简单化，将冗长的对象简洁化.

例如，在“函数”的教学中，为了得出的定义——在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们就称y是x的函数. 琢磨函数定义，教师应当知道，这个教学的过程的关键，就是要给学生提供若干个“变化过程”，这些变化过程是从实际生活中提取的，具有形象的特征，函数的内涵隐藏其中，需要学生通过分析、综合的方法概括出来，这就是一个数学抽象的过程，这个过程基于事实而提取函数的本质，体现为用函数的思路描写具体的事例，因而结果简单、简洁，是数学抽象的简约阶段.

第二个层次：符号阶段. 这个阶段的数学抽象，强调去除具体的内容，利用数学概念、图形、符号等来表达简约化了的关系. 数学研究的对象是数与形，研究的重点是数数、形形、数形之间的关系，这种关系最终是用符号来描述的，符号描述意味着数学抽象走出了所举的事例，而进入了概括总结的阶段.

例如，在“函数”概念的教学中，当我们强调函数可以记为y=f（x），x∈A时，实际上就是对函数的一处符号化表达，在这里，x代表着集合A中的一个元素，是一个输入值； f代表着所有的不同的对应法则，y代表着输出值. 从学生学习的角度来看，这一步是学生运用数学语言描述简约阶段中抽象成果的过程. 也是极为重要的一步基础性工作，数学抽象过程中，抽象是一个过程，而抽象的结果是需要描述的，描述所用的工具只能是数学语言，而学生运用数学语言的过程本身就是一个重要的数学学习过程，这个过程中的数学语言的选择与运用，是尤其需要注意的.

第三个层次：普适阶段. 这个阶段强调建立数学法则，或者是建立数学模式或模型，以形成一般意义上的数学结論，并运用于更广泛的范围以解释事实.

在“函数”学习中，通常有一个重要的环节，就是让学生判断有些对应是不是函数. 这就需要学生将教师提供的对应与函数的定义（实际上也是上一步抽象的结果）进行比较（这里还用到比较思维），看其与函数定义是否严丝合缝. 这一步对函数概念的构建来说，还有一个重要意义，那就是帮学生更清晰地发现函数的三要素. 笔者在教学中还有一个新发现，那就是普适阶段的数学抽象，还有助于学生的一些自我发现. 如有学生对函数f（x）的类型进行了分类，发现其可以是整式，可以是分式，还可以是根、幂等形式，而不同的形式在确定定义域的时候是不一样的. 这样的分类，实际上让学生对函数有更细致的把握，直接影响就是其后的问题解决中，学生可以更直接地将新问题与这些分类结果对应起来，因而提高了学生问题解决的速度与效率.

这样的数学抽象三阶段，既给数学抽象过程提供了一种范式，也给学生的数学抽象能力的描述提供了重要的模式，教师在评估学生抽象过程与结果以及能力形成的时候，就有了一个重要的依据.

走向数学抽象素养的数学教学与研究

文章开头已经说过，数学抽象是高中数学教学研究中的一个重点内容. 当前我们正站在数学学科核心素养培育的起跑线上，在核心素养的背景下将数学抽象上升为数学抽象素养并进行研究，也是可行的.

有研究者将数学抽象素养界定为运用数学抽象满足自身需要的必备能力与品质. 这是借助于核心素养的概念来描述的，这样的界定也巧妙地将数学抽象与核心素养联系在了一起. 笔者以为，在高中数学教学中，数学概念的得出，数学定理的总结，数学规律的概括，其实基本上都有一个数学抽象的过程，实际教学中引导学生认识到数学概念、规律、定理的得出是数学抽象的产物是必要的，这样不仅满足了数学学习的结果的需要即数学知识的构建，也满足了数学学习过程的需要即形成数学思想方法的认识.

总之，在高中数学教学中，数学抽象需要进一步认识与研究，数学抽象需要从体验走向认识，需要从“幕后”走向“前台”，需要在学生的认识中变成清晰的认识. 只有这样，数学抽象才能在核心素养的背景下得到进一步发展，从而彰显其在数学学科中的重要地位.