基于径向基响应面优化断路器温控研究

李洪+徐丽丽+李劲

摘要： 在研究断路器温度变化过程中，控制其温度变化是一项极为重要的工作。由于试验分析温度变化过程时会受到各种因素的影响的干扰，因此需要利用试验设计筛选出关键影响因子进行重点改进。文章在结合一次对断路器温变过程的全面调查所获得的实际数据的基础之上，首先利用均匀设计与正交设计在试验次数相近时，均匀性更好的、更具代表性的特点进行试验分析；然后通过响应面法（Response Surface Methodology——RSM）构建断路器温度变化的回归模型，并且利用残差进行插值拟合，最终构建基于径向基函数的响应面模型。并且期望改进后的模型更能有效的避免传统响应面优化方法的缺点。

Abstract： The temperature change of control circuit breaker is very important work in the process of studying circuit breaker temperature change. Because the test analysis of temperature change process are influenced by various factors， we need to use design of experiment method to screen out the key influence factors to improve. This paper used uniform design has better uniformity and the characteristics of more representative to experiment when uniform design and orthogonal design in similar experiments based on the actual data of a complete investigation of the circuit breaker temperature change. Then it applied response surface methodology to build a regression model about circuit breaker temperature change and used the residual to interpolation fit， finding out the response surface model based on the radial basis function. And the improved model can effectively avoid the shortcoming of traditional response surface optimization method.

关键词： 优化设计；径向基函数；响应面法；插值拟合

Key words： optimize design；radial basis function；response surface methodology；interpolation fit

中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）02-0118-04

0 引言

随着制造业的发展和技术的提高，人们对于断路器成品质量的要求越来越高，而在断路器的制造过程中如何控制影响温变因素，这个问题越来越引起人们关注。

响应面法能够在最优区域内通过二次多项式拟合一个响应曲面代替未知的真实曲面，如：张亚南等[1]利用响应面优化法进行复配稳定剂的优化，以此改善了乳清雪菊酒的不稳定性；程军圣等[2]为了改善听小骨消声器的消声性能，利用响应面法够造二次多项式响应面模型，并且验证了其方法的有效性。但是响应面法并未对残差进行处理，并且其核心之一就是输入变量试验点选取的随机性，而采用均匀设计筛选试验点后所构建的响应面便可以使结果更加精确，并且均匀设计更加适用于多水平试验，也多有应用，如：周敏等[3]将均匀设计用在汽车前轮罩板成形参数设计中，明显节省了工艺制造的时间，提高了工艺设计的工作效率；李子轩等[4]利用均匀试验设计的方法研究多水平工艺参数对C型钢成形质量的影响，结果表明合理的试验设计方案所得到的工艺参数有效的改善了冷弯产品的质量。而径向基函数对于任意维的离散观察点的处理较为简单，并且径向基函数具有良好的拟合性和较高的精确值，同时利用插值拟合处理残差，并建立基于径向基函数的响应面模型能够更好的表达真实曲面的模拟信息，如：潘雷等[5]采用径向基函数方法对多项式响应面法的残差进行处理，有效地提高了多项式响应面的近似精度。纵观均匀设计、响应面优化和径向基函数等的发展与应用，越来越多的学者将各种方法有机的结合在一起，以此来改善传统单一的使用一种方法来研究某个领域的相关问题，因此将径向基函数与响应面优化和均匀设计相结合是一种不错的选择。并且针对这一领域的研究已有不少，如秦玉灵等[6]在对机翼进行有限元分析时，首先利用均匀设计分析其结构参数，然后在建立基于高斯径向基函数的响应面模型，并且利用最小二乘得出系数；马伟标等[7]在研究优化履带车辆悬挂系统的参数时，利用径向基函數构建了其主要参数与平顺性评价指标之间的响应面模型，并且利用退火优化算法对参数进行优化，证明了其方法的可行性；安治国等[8]在讨论板料成形时，首先通过超拉丁立方的抽样设计，然后建立基于径向基函数的响应面模型，分析了板料在冲压成形过程中的可靠性，证实了径向基响应面模型的有效性；郁胜等[9]在对大跨度斜拉桥进行分析时，构建了基于径向基函数的响应面分析模型，并且利用遗传算法进行修正。虽然利用均匀设计、响应面法建立回归模型并结合径向基函数解决多水平、非线性问题的研究已有不少，但遗憾的是在控制断路器的制造过程中分析其温度变化的应用还很少。endprint

本文通过Design-Expert和MATLAB工具，首先对试验数据进行分析，再利用响应面方法构建控制断路器温变回归模型，最后对残差进行插值拟合并构建基于径向基函数的响应面优化模型。

1 基于均匀设计RBF-RSM的温控工艺原理

1.1 响应面法

响应面法（Response Surface Methodology—RSM）最早是由Box和Wilson提出的，并且早于田口玄一提出的三次设计法。它是数学和统计学结合的产物，其目的是优化响应变量和响应之间的潜在规律。

响应面法在优化设计时，则是通过合理的试验设计方法解决如何建立目标、约束和设计变量之间的近似函数。目前构造响应面的方法主要有多项式、指数和对数函数拟合，以及神经网络等。虽然构造的响应面的方法有很多，但是根据魏尔斯特拉斯定理，许多类型的函数都可以用多项式去逼近，多项式近似模型可以处理相当广泛的非线性问题，因此，在优化时，不论设计变量和目标函数的关系如何，总可以采用多项式近似模型进行分析。

而在优化设计中，响应变量和自变量之间的关系形式是未知的，因此，通常在自变量的某个范围内（稳定区域）构建近似模型。在实际应用中则是利用恰当的试验点，在确定稳定区域后，通过拟合一阶或二阶响应面回归模型，通过模型分析结果，找到最佳的参数组合，如一阶模型的表达式如下：

Y=？茁0+■？茁iXi+？着（1）

二阶模型表达式：

Y=？茁0+■？茁iXi+■？茁iiX■■+■？茁ijX■iXj■+？著（2）

其中：Y代表响应值； ？茁0代表常数项；？茁i代表线性系数；？茁ii代表二次项系数；？茁ij代表交互作用项系数；？着代表误差项；Xi和Xj代表各因素。

几乎所有的响应面问题都可以用以上两个模型中的一个或者两个解决。而未知系数可通过已观测到的试验数据（x11，x21，…xn1，y1），…，（x1k，x2k，…，xnk，yk）用最小二乘法来估计，即拟合值与样本值在各点的残差的平方和最小来确定响应系数，然后在拟合曲面上做响应面分析。系数估计以一阶为例：

■=[■0，■1，…，■n]T=（XTX）-1XTY

=[■■y■■…■]T（3）

式中

X=■，Y= y1y2■yk

于是可得到一阶响应面模型为

■=■0+■■ixi（4）

1.2 均匀试验设计

从早期的单因素试验设计发展至今，人们对于试验设计的运用已经相当成熟。在响应面优化方法中通常都会使用试验设计，如正交设计、中心复合设计、拉丁方等，但是对于多因素、多水平问题，这些方法总存在缺陷，而均匀设计在安排较少试验次数的同时也使得试验数据更适合建立模型，在合理均匀排列试验点的同时也可以保证响应面模型的精确度。

1.3 径向基函数

径向基函数（Radial Basis Function——RBF）是由Hardy提出的某种沿径向对称的标量函数，通常定义为n维空间中任一点到x某一中心xi之间距离的单调函数[9]，可记为

H（■ x-xi ■）

其中， ■ x-xi ■为x到xi之间的Euclidean距离。

对？坌f∈R，如果给定与xi相对应的函数值fj，其基于径向基函数H的近似表达式（插值函数）为

f（x）=■cjHj （ ■ x-xj ■）（5）

其中cj为常系数。为确定系数cj，现将函数f在点xi上坐标和函数值fi分别代入上式左右两侧，有

fj（x）=■cjHj（■ xi-xj ■）（6）

将i取遍1到N的所有值，可得到下面的矩阵方程：

XC=F（7）

其中C={c1，c2，…，cN}T，F={f1，f2，…，fN}T，X为N×N阶矩阵，其中元素xij为

xij=Hj ■ xi-xj ■（8）

则可得C=X-1F。

显然，如果矩阵X可逆，则系数C存在。而矩阵X可逆的充分条件之一是基函数H ■ x-xj ■为正定函数即可。

1.4 径向基函数响应面模型

传统的多项式响应面法虽然在构造和计算上相对简单，能够以拟合的响应面曲面代替真实的曲面，但是其精度有限，并且不能随着样本量的增大而提高其近似精度；而径向基函数和响应面优化拥有着共同的优点——构造和计算简单，其缺点则是不能够较好的提供插值曲面的近似连续拟合曲面。

并且响应面法由于不能对其结果中的残差进行处理而导致不能够随样本容量的增大而有效地提高精度，从而使得在进行曲面分析时，丢失许多信息。

在RSM分析时，设生成的近似曲面为F1，试验点和拟合点间的差值为残差R。首先利用RBF对R进行处理，提取R中的信息加入到近似结果中去，这样可以有效地避免RBF和RSM的缺点，径向基响应面法的计算流程如下：

①对原始试验点生产RSM近似曲面并设生成的近似曲面为F1；

②计算残差R；

③利用残差R计算RBF插值函数F2；

④将F1和F2进行叠加，作为最终的插值结果G。

G=F1（X）+F2（X）=a0+■aixi+■cjH■ x-xj ■（9）

其中xi为向量X的第i个分量，xj为第j个向量，未知系数a和c可以根据已知的m组试验数据和残差R按照RSM和RBF公式计算得到。其具体流程如图1所示。

2 基于均匀设计RBF-RSM优化温控工艺模型

本节将应用均匀设计理论，对影响温度变化的各项因素进行分析。本文的数据源于浙江H公司QC小组对于分析断路器时温度变化的一次全面的调查，采集了在试验分析过程中影响温度变化的3项指标，它们分别是熔焊面积、镀银厚度和电阻值。endprint

2.1 均匀设计试验方案

均匀设计利用合理的因素水平、恰当的安排试验，如此能更好的分析出各因素对温升变化的影响。通过3因素4水平共16个试验点进行分析，均匀设计因素水平表如表1所示。试验序号来自均匀设计表U*16（1612）及其使用表。

2.2 均匀设计试验结果

按照3因素4水平的试验设计方案安排试验，得到结果如表2所示，温度为响应值。

2.3 径向基响应面模型建立

将温升变化作为响应变量，熔焊面积（X1）、镀银厚度（X2）和电阻值（X3）作为自变量，根据均匀试验设计结果建立不含交叉项的响应面模型。

Y1=？茁0+■？茁iXi+■？茁iiX■■（10）

其中：Y1代表响应值；？茁0代表常数项；？茁i代表一次项系数；Xi代表各因素。

根据表2的结果利用MATLAB工具拟合，得到其响应面模型的方程：

Y1=-321.36+13.79X1+10.66X2+290.27X3-0.48X■■+0.12X■■-91.13X■■

残差就是真实值与拟合值之间的差值，即为

ei=yi-■i

其中yi为真实观测值，■i为拟合值。

二次响应面回归方程中各试验点的真实值与拟合值之间的差值如表3所示。

由于径向基函数H ■ x-xj ■可以是任意形式的低阶多项式，因此文章选取■ x-xj ■ C作为径向基函数，其中，0

Y2=0.15 ■ x-57.5 ■（11）

因此，得到基于徑向基函数的响应面模型为

Y=-321.36+13.79X1+10.66X2+290.27X3-0.48X■■+0.12X■■-91.13X■■+0.15■ x-57.5 ■（12）

改进后的径向基响应面模型是利用残差进行插值拟合后在进行叠加而形成的，通过模型可以直观的看到，改进后的模型比原模型更优，因为原模型丢失了残差信息，而改进后的模型有效的利用了残差值。

3 结束语

文章以温度变化值作为响应变量，以熔焊面积、镀银厚度和电阻值作为参数，利用均匀设计进行试验，通过建立响应面优化模型，并且利用传统响应面优化模型没有对残差进行处理的缺陷进行改进，通过利用残差进行径向基函数的插值拟合，最终构建了基于径向基函数的响应面优化模型。但本文的不足之处在于，数据数量的限制无法进行细致的分析，以及由于试验条件的限制不能进行大量的试验；同时，文章只是选择了不含交叉项的响应面优化模型，也可以选择全模型等，不同的选择构建的模型是不一样的，并且文章并未对径向基响应面模型进行优化，这将是以后研究的目标，因此没有进行更加具体和细致的分析，但对于断路器的温升变化判断应具有较好的作用。

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