探究概率统计提高数学素养

2018-01-11河南省平顶山市第一高级中学刘海洋

中学生数理化(高中版.高考数学) 2017年12期

关键词：概型红灯直方图

■河南省平顶山市第一高级中学刘海洋

■河南省平顶山市第一中学张玲敏

探究概率统计提高数学素养

■河南省平顶山市第一高级中学刘海洋

■河南省平顶山市第一中学张玲敏

概率统计在高考中以抽样、折线图、茎叶图、频率分布直方图、样本的数字特征、回归分析、独立性检验等考查同学们应用概率统计知识解决实际问题的能力。探究概率统计问题的求解过程,可以提高同学们的数学建模、数据分析、逻辑推理、合理运算等核心素养。

探究1：几何概型与其他知识的网络交汇

例1 记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D。在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是____。

解析：因为试验的基本事件个数是无限个且是一元变量,所以选择区间长度为测度求长度比,从解不等式切入。由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,根据几何概型的概率计算公式得x∈D的概率是

点击素养：几何概型具有“无限性和等可能性”。基本事件可以抽象为点,一元变量选长度为测度,二元变量选面积为测度,可用“比例解法”求解几何概型的概率,几何概型的“测度”使得它与平面区域内的长度、几何图形、轨迹、定积分等进行网络交汇。

探究2：古典概型与排列组合的交汇

例2 从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数的奇偶性不同的概率是( )。

解析：元素自然分组计数,注意合理分类,区分“有序”与“无序”,标有1,2,…,9的9张卡片中,所标的数是奇数的有5张,所标的数是偶数的有4张,所以抽到的2张卡片上的数的奇偶性不同的概率

故选C。

点击素养：求古典概型的概率,明确所求事件本身的含义,区分“有序”与“无序”,利用排列组合计数,当正面问题比较复杂时,往往采取计数其对立事件,进而用公式求解。

探究3：离散型随机变量的概率分布列和期望

例3 从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为

(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率。所以随机变量X的分布列为表1。

表1

(2)2辆车共遇到1个红灯的事件包括:第1辆遇到1次红灯,第2辆遇到0次红灯;第1辆遇到0次红灯,第2辆遇到1次红灯。设Y表示第1辆车遇到红灯的个数,Z表示第2辆车遇到红灯的个数,用(1)的结果,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率

点击素养：理解随机变量的可能取值,就是借助互斥事件进行合理分类,根据每类情况构建相互独立事件同时发生借助排列组合计数,利用古典概型公式确定分布列进而计算出数学期望。

探究4：统计图表与独立性检验及概率模型的交汇

例4 某中学举行了一次诗词竞赛,组委会在竞赛后,从中抽取了1 0 0名选手的成绩(百分制),作为样本进行统计,作出了频率分布直方图,如图1所示,分析后将得分不低于6 0分的学生称为“诗词达人”,低于6 0分的学生称为“诗词待加强者”。