弱导数意义下的Landau型不等式

曹德贤　郑明　李娌芝　官心果

摘 要 目前，很多学者针对Landau型不等式做出了研究，但是对于导数为弱导数意义下是否成立一直没有人去验证，证明的方法与普通意义下不等式的证明类似，根据Hille-Yosida生成定理，通过弱导数算子可生成相应的半群，结合半群的性质可以证明一些弱导数意义下的Landau型不等式。

关键词 Landau型不等式 弱导数 压缩强连续半群

中图分类号：O174.14 文献标识码：A

不等式理论在数学理论中有重要的地位，以1928年Chebyshev发表的论文和1934年G.Plya出版的书为不等式理论的重要转折点，如今不等式理论已发展为一门独立系统的学科。Landau型不等式就是这个时期得到了发展，该不等式在函数逼近论和微分方程方向中都有很重要的应用，Landau在1913年最早开始研究这个类型不等式：

该文章主要考虑了此不等式中的导数为弱导数情形下是否仍然成立的情况，弱导数定义如下：

设，如果存在且满足：

就称是在区域上的阶弱导数。

本文的主要结果有：

定理1：

在弱導数意义下有：

定理2：

在弱导数意义下有：

1基本引理

引理1：设是半群的无穷小生成元， 满足如果，则：

证明：由半群性质可得，当时，有

所以有，

取，带入得：.

2定理的证明

定理1：设，.算子定义为：

， 其中导数为弱导数，v为常数

因为而是的稠子集，则此算子是稠定的

对于，有.

由我们可以得出：

并且得到

其中，

所以，并且

因此，根据Hille-Yosida生成定理，算子生成上的一个强连续压缩半群.

由引理1知：

又由压缩半群定义知上式的M=1，再带入算子得：

定理2： 取设常数 ，定义算子：

其中的导数为弱导数。

下面证明此算子自伴，且有

（1）

并且对于，有

（2）

由得到是稠定的. 有

所以是稠定对称算子.对于，令

则，且因此，表明.故自伴且.

设取主值支.由 得到

.

由得到非零的条件为

即 所以由得到

相应于，由得到其解为

，

其中， 可任取.且

于是有

另一方面，对于，由，有

得到：

其中， 且

于是， 且对 与有

.

从而，对于与 有

再由（1）知， ，故（1）式成立。

对于，有，所以

设非零，对于满足的唯一 ，有

，

因此，当时，有

.

即式（2）得证.

因此，根据Hille-Yosida生成定理，算子A生成 上的一个强连续压缩半群。

同理可：

3结束语

将普通导数意义下的不等式推广到弱导数意义下虽然只证明了情形下的两个不等式 ，但对于其他情形，比如，也可用类似的方法证明。

作者简介：曹德贤（1991.10-），男，硕士研究生，主要研究方向：函数逼近论。

参考文献

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