排列组合问题分析

张圣博

摘 要 所谓彩票是由几个固定的数字组成的数码或者是符号，在若干个给定的数码或者是符号中买到与中奖的数码完全相同或者是部分相同的情况下，就会得到相应的奖项。而排列组合是组合数学中最基本的概念。那彩票与排列组合之间有什么样的关系呢？本文介绍了排列组合的定义、发展历程和基本计数原理，并通过列举不同种类彩票的中奖情况分析了排列组合知识与彩票间的联系，以此来激发人们对排列组合的兴趣与认知，也能够让人们在购买彩票时更理智。

关键词 彩票 排列组合

中图分类号：F224.9 文献标识码：A

1排列组合

1.1排列组合的定义

排列组合是组合数学中最基本的概念。排列指的是从给定个数的元素中取出指定个数的元素，然后进行排序的一个过程。它的计算公式是：A=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=n！/（n-m）！，表示的意思是从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列数。组合指的是从给定个数的元素中中取出制定个数的元素而并不进行排序的一个过程。它的计算公式是：C=A/m！=n！/m！（n-m）！，表示的意思是从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

1.2排列组合的发展历程

尽管数数是源于结绳计数的远古时代，但当时的社会发展水平还处于最初的阶段，对于数数并不没有什么技巧。随着人们对于数的了解和研究，与数相关的各种数学分支，如数论和代数等的形成与发展，人们认识到数的多样性，也逐步产生了数数的一些技巧，数与形之间也密切地联系起来。这些都有利以研究数的技巧为主的近代组合学的形成与发展。

11世纪和12世纪间，贾宪发现二项式系数，而杨辉将它记录在自己的《续古抉奇法》中，也就是我们通常所说的杨辉三角。13世纪波斯的哲学家曾经讲过这类三角。17世纪中期，布莱士·帕斯卡和费马发现许多与概率论有关的经典组合学的一些结果。18世纪，组合学开始作为一门学科来发展。19世纪，高斯提出高斯系数，对于经典组合学的影响是非常重大的。同时，乔治·布尔发现布尔代数的分支，成為组合学中序理论的基石。20世纪初期，庞加莱与多面体的问题相联系，从而组合学的概念与方法得到发展。20世纪中后期组合学发展迅速。一方面，组合结构被阐明和被称为组合最优化的一个组合学分支产生。另一方面，随着电子和计算机技术的发展，组合学出现很多新的研究课题，比如组合计算几何。

根据组合学的研究与发展现状，它可以分为：经典组合学、组合设计、组合序、图与超图和组合多面行与最优化。

组合学几乎涉及到数学的每一个领域。因此，研究组合学中的排列组合有着非常重要的现实意义。

1.3排列组合的基本计数原理

1.3.1加法原理和分类计数法

加法原理：完成一件事有n种方法，在第一类方法中有m1种，在第二类中有m2，...，在n中方法中有mn种，因此，完成这件事共有A=m1+m2+…+mn种方法。

分类的要求：每一类中每个方法都是独立存在的；两类不同办法中的具体方法都是不重复的；完成这件事的任何一个方法都属于某一类。

1.3.2乘法原理和分步计数法

乘法原理：完成一件事需要n种步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2，...，第n步有mn种，完成这件事需要A=m1xm2x…xmn种方法。

分步要求：连续完成n步才能完成这个事；各步计数相互独立；只要有一步中采取的方法不同则完成此事的方法也不同。

2彩票中的排列组合问题

随着中国体育和福利事业的发展，广大消费者对于彩票的热情度越来越高。他们都想通过碰“运气”来获得丰厚的奖金。然而，大多数购买者只知道一味地去购买彩票，却忽略了彩票中的数学问题。所谓彩票是由几个固定的数字组成的数码或者是符号。在若干个给定的数码或者是符号中买到与中奖的数码完全相同或者是部分相同的情况下，就会得到相应的奖项。彩票，不管是规定顺序还是不规定顺序都是从若干个数码或者是符号中选出几个数码或符号，这就是我们组合数学中的排列组合问题。接下来我们就讨论下彩票中的排列组合问题。

2.1传统型彩票

传统型彩票采用的是10选6+1的形式，也就是说先从6组0到9号球中摇出6个最基本的号码，每一组摇出一个基本号码。然后从0到4号球中摇出一个特别号码，即中奖号码。彩民要从0到9这10个号码中任意选择6个可以重复的基本号码，再从0都4中选择一个特别号码，就可以构成一注。以单注号码与中奖号码相符合的个数和顺序为标准来确定中奖的等级。

传统型彩票的中奖规则实质上就是排列组合问题。那么各级奖项中奖的概率是怎么样的呢？

假设Pi（i=1、2、...、）是各级奖项中奖的概率。

P1=1/5x106=2x10-7

P2=4/5x106=8x10-7

P3=2A19/106=1.8x10-5

P4=2A19A110+A19A19/106=2.61x10-4

P5=2A19A110+2A19A19A19/106=3.42x10-3

P6=2A19A110A110A110+3A19A19A110A110-（3A19A19+2A19）/106=4.1995x10-2

2.2电脑彩票

2.2.1乐透型彩票

乐透型彩票有很多形式，比如33选7、36选6+1等。33选7指的是先从0到33个号码球中逐一摇出7个基本号码，在从剩余的26个号码球中摇出特别号码。彩民要从0到33个数码中任选不可重复的7组成一注，根据单注号码与中奖号码相符合的个数来判断中奖的等级，与号码顺序无关。乐透型彩票不考虑顺序的问题，因此是单纯的组合问题，我们只需要运用组合的计算公式便可以求解出各等奖中奖的概率。endprint

2.2.2电脑福彩

电脑福彩的投注方法是从36个号码中选择7个作为一注，每注是2元。

首先，我们来讨论下，一张电脑彩票中特等奖的机率是多少。通过规则我们可以知道要想获得特等奖就必须从36个号码中选出与中奖数字相同的7个号码，因为不计算顺序，所以属于组合问题，通过计算公式C736=36x35x34x33x32x31x30/ 1x2x3x4x5x6x7=8347680，可以看出从36个号码中选出7个总共有八百多万种选法，也就是说一张彩票中奖的机率是1/8347680，几乎为0。如何提高中奖的机率呢？有人说多买就能增加中奖机率。但只要买的少于8347680张，就不能保证百分之百中奖。

其次，我们来讨论下在只考虑特等奖奖金（5000000）的情况下，将36个号码至少减少到多少就可以采用全包的方式来保证中奖的机率。假设36个号码减少到m，则从m中选择7个的情况就有C7m，全包的话只需要2>C7m，所以只需要2>C7m<5000000即可。经过计算得知，C731=2629576>2500000，C730=2035800<2500000，只有将36个号码减少到30个或以下，而且获奖金额不变的情况下就可以采用全包的形式。但这种情况是非常少见的，彩民在购买彩票前一定要好好阅读中奖规则，避免上当。

最后，我们来讨论下如果保持36个号码不变，减少要选出的7个号码的数量的情况。减少可选号码的数量就能减少出现不同情况的种类。假设a、b和d都是自然数，而且a

C=A/m！=n！/m！（n-m）！=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）/1x2x3x…xm，我们可以看出m增大，分式中的分母和分子都在增大，所以整个分数的值并不是最大。只有分子相乘的数大于分母时，整个分数的值才是较大的，即n-m+1>m，也就是m

3总结

生活中处处充满着数学的影子。通过分析传统型彩票和电脑彩票这两种类型中的不同情况，我们可以发现，彩票中蕴含着丰富的排列组合问题。所以，我们在购买彩票时不仅仅是要想着凭借着“运气”来获取奖金，还要学会运用排列组合的概念和方法来分析彩票中的各种问题。只有这样，我们才能理智地面对彩票，也加深对排列组合知识的认知，提升对其的学习兴趣。

参考文献

[1] 郭飞.排列组合在生活中的应用[J].新课程：教研版，2011（05）.

[2] 罗荣枝.彩票中的排列组合问题探析[J].中学课程辅导：教学研究，2011（15）.