主动悬架非脆弱H∞控制器设计

马 克，米 林，谭 伟，王苏磊

(重庆理工大学 车辆工程学院， 重庆 400054)

主动悬架非脆弱H∞控制器设计

马 克，米 林，谭 伟，王苏磊

(重庆理工大学 车辆工程学院， 重庆 400054)

考虑车辆建模不确定性和执行器参数不确定性，基于2自由度1/4车辆模型设计主动悬架的非脆弱H∞控制器，使悬架加速度、悬架动扰度、轮胎形变量得到优化。非脆弱H∞控制器通过LMI(linear matrix inequality，线性矩阵不等式)算法求解，并在Matlab7.0/Simulink环境下搭建仿真模型进行仿真分析。研究结果表明：该控制器能有效改善车辆的乘坐舒适性，较好地解决平顺性与操纵稳定性之间的矛盾。

主动悬架；非脆弱H∞控制器；线性矩阵不等式

汽车悬架会对汽车整体的舒适性和安全性产生较大影响。传统的被动悬架性能只能在一定频率范围内起作用，而主动悬架能随环境的变化主动调整控制力的大小，使悬架始终处于最佳的减震状态，体现出极大的优越性。由于车辆行驶环境的不确定性，主动悬架的鲁棒控制策略受到越来越多的关注[1-2]。文献[3]采用2自由度1/4模型，基于线性矩阵不等式的方法，提出了一种考虑参数不确定性的鲁棒H2/H∞控制器设计方法。文献[4]采用7自由度整车模型，设计了基于LMI(线性矩阵不等式)算法的主动悬架H2/H∞多目标输出反馈控制器，实现了较好的平顺性和操纵稳定性。文献[5]考虑悬架系统的参数摄动与高阶未建模不确定性，基于LFT(线性分式变换)设计出μ综合控制器，仿真结果表明乘坐舒适性有很大提升。

传统的鲁棒控制往往只考虑了参数摄动和高阶未建模不确定性，在实际系统中，微处理器内存和字长的限制以及A/D、D/A转换误差等原因都可能引起控制无法准确实现，造成控制器出现摄动[6]。文献[7-8]指出：现有的鲁棒控制设计方法对控制器参数的微小摄动具有高敏感性，因此需要同时考虑系统参数和控制器的不确定性，构造出一种非脆弱的控制器，使主动悬架更稳定地运行。文献[9]基于执行机构的不确定性，为主动悬架设计出一种非脆弱H∞控制器。文献[10]为解决主动悬架执行机构的输入延迟问题，设计了一种非脆弱H∞/L2-L∞静态输出反馈控制器。文献[11]采用具有2个作动器的1/4模型，并在动力学建模过程中将人体确定振动考虑在内，应用非脆弱H∞控制策略获得较好的乘坐舒适性。

1 主动悬架动力学模型

主动悬架2自由度1/4车体悬架模型如图1所示。其中：刚性弹簧与阻尼器为悬架被动部分，作动器为悬架的主动部分，一般由液压伺服机构提供主动力u；ms为车身质量(簧载质量)；mu为车轮质量(非簧载质量)；ks为悬架弹簧刚度；cs为阻尼器阻尼系数；ku为轮胎刚度；xs、xu、xo分别表示车身垂直位移、轮胎垂直位移以及路面垂直位移。1/4车模型的理想动态微分方程为：

图1 1/4车体悬架模型

现将动力学模型转换成空间矩阵形式：

z(t)=C2x(t)+Du(t)

2 非脆弱H∞控制器设计

2.1 不确定系统的描述

过去30年间，H∞控制理论的应用取得了令人瞩目的成果，存在有界参数不确定性时能保证系统稳定，即具有较强的鲁棒性。文献[7]提出：控制器在作动的过程中，H∞鲁棒控制器参数也会有一定的变化，导致控制器本身出现增益扰动，这种扰动很容易导致闭环系统稳定性被破坏及性能的下降。对参数的微小改变具有高敏感性的控制器称为脆弱控制器。为使控制器具有非脆性，不仅仅要考虑系统的参数不确定性，还需考虑控制器的参数摄动。考虑如下形式的不确定系统：

(1)

其中：x(t)∈Rn表示系统状态；y(t)∈Rp表示系统的测量输出；z(t)∈Rq表示系统的控制输出；w(t)表示外界干扰；A、B1、B2、By、C1、C2、D表示维数适当的已知实常数矩阵；ΔA是未知实矩阵，反映系统的参数不确定性。将未知实矩阵的已知成分分离出来[12-14]，可得到如下形式：

ΔA(t)=M1F1(t)N1

(2)

式(2)中：M1和N1是维数适当的已知矩阵；F1(t)是未知矩阵，且满足

F1(t)TF1(t)≤I, ∀t

本文旨在设计一种状态反馈非脆弱H∞控制器，具体表达式如下：

u(t)=(K+ΔK)x(t)

(3)

式中ΔK表示控制器的增益摄动。常用的ΔK构造方式有2种：加法摄动和乘法摄动，具体表达形式如下：

1) 加法摄动

ΔK=MF(t)N,F(t)TF(t)≤I

2) 乘法摄动

ΔK=MF(t)NK,F(t)TF(t)≤I

式中：M和N表示维数适当的已知矩阵；F(t)表示未知矩阵。本文选择加法摄动方式构造控制器增益摄动，即：

ΔK=M2F2(t)N2,F2(t)TF2(t)≤I

(4)

2.2 状态反馈非脆弱H∞控制器设计

为推导出状态反馈非脆弱H∞控制器的矩阵不等式，在这里介绍2条引理。

引理1 如果给定的Y、M和N是维数适当的实数矩阵，且满足：

Y+MF(t)N+NTF(t)TMT<0

对F(t)满足F(t)TF(t)≤I，那么对任意ε>0，有

Y+εMMT+ε-1NTN<0

引理2 如果Q(x)=Q(x)T，R(x)=R(x)T和S(x)是x的映射，对于LMI，

则上式LMI等效于

R(x)>0,Q(x)-S(x)R(x)-1S(x)T>0

其中R(x)表示常数。舒尔补定理把非线性不等式转化成一个线性矩阵不等式。

将本文构造的非脆弱H∞控制器代入系统状态方程中得到：

z(t)=[C2+D(K+ΔK)]x(t)

(5)

为使状态反馈非脆弱H∞控制器对不确定性ΔA(t)和ΔK能保持稳定，需要满足Hamiltonian方程[15]：

γ2wT(t)w(t)<0

(6)

其中V(x,t)表示Lyapunov函数，表达形式如下：

V(x,t)=x(t)TPx(t)

两边求导形式如下：

将式(5)代入得

P[(A+ΔA)+B1(K+ΔK)]}x(t)+

(7)

再将式(2)(4)和(7)代入式(6)得：

为满足H(x,w,t)<0的约束条件且[xT(t)wT(t)]≠0，

根据引理2舒尔补定理，可以将上述矩阵不等式转化为如下形式：

注：本文使用的*表示对角线转置。

现应用引理1，将上述矩阵不等式转化成如下形式：

应用引理2，将上述矩阵转化成如下形式：

对上式左乘和右乘diag{X,I,I,I,I,I,I}，其中令X=P-1，KP-1=Y并且如果存在对称矩阵X>0，使上式转化成如下形式：

(8)

如果式(8)有解时，所求的状态反馈控制器为：K=YX-1，其中X∈R4×4是对称实矩阵，Y∈R1×4。

3 仿真与分析

基于本文非脆弱H∞控制器的设计过程，在Matlab7.0环境下，对采用所设计控制器的主动悬架进行仿真。车辆的参数为：ms=250 kg；mu=30 kg；ks=1×104N/m；ku=1×105N/m；cs=1 000 N·s/m。

本文的参数不确定性和控制器摄动通过LFT(线性分式变换)转换成MF(t)N形式，若要进行仿真，需要将分离出的已知矩阵进行参数设定。由本文研究可知：ΔA需要定义矩阵M1、N1；ΔK需要定义矩阵M2、N2。具体形式如下：

M1=[1 0 0 0]T

N1=[-αcs/msαcs/ms-αks/ms0]

α=0.2;M2=δ×[1 1 1 1]

N2=diag(1,1,1,1)；δ=50

设置式(8)中参数ε1=ε2=5，γ=30。运用Matlab7.0中的LMI工具箱进行控制器的求解，函数lmivar，lmiterm描述矩阵不等式，函数feasp进行求解。最后求得矩阵X、Y，再根据状态反馈控制器K=YX-1，求得控制器如下：

K=105×[-0.118 6 0.033 9 -0.572 1 1.313 8]

在Matlab7.0的环境下，对采用非脆弱控制器的主动悬架进行仿真，并与被动悬架进行对比，通过Bode函数绘制悬架加速度、悬架动扰度以及轮胎变形量的幅频特性曲线，如图2～4所示。根据ISO2631标准，人体对垂直振动最敏感的频率范围为4～8 Hz。由图2可知：采用非脆弱H∞控制器的主动悬架性能在频率范围4～8 Hz内明显优于被动悬架，使乘车舒适性得到明显改善，而频率超过 10 Hz后主动悬架性能恶化明显。由图3可知：在频率小于1 Hz的情况下，采用非脆弱H∞控制器的主动悬架动扰度略有恶化，其他范围内性能略优于被动悬架。由图4可知：主动悬架的轮胎变形量在低频段处实现了部分的优化，但在高频段处却有一定的恶化。造成敏感范围优化显著、其余范围略有恶化的原因可能是加权函数选择不合适。选择加权函数协调各种性能冲突并不容易，尽管有一些指导性原则，但仍需要无数次凑试。

图2 垂向加速度幅频曲线

图3 悬架动扰度幅频曲线

图4 轮胎变形量幅频曲线

图5 垂向加速度时域曲线

由图5可知：主动悬架的垂直加速度比被动悬架有明显改善，其均方根值降低了58.1%，控制效果明显。由图6、图7可知：主动悬架动扰度比被动悬架明显减小，其均方根值降低了22.5%，但轮胎的变形量并没有明显恶化，在提高乘车舒适性的情况下，保证了车辆操纵稳定性。总的来说，与被动悬架相比，主动悬架显著降低了车身垂直加速度和悬架动扰度，同时又避免了轮胎动扰度增加过大。

图6 悬架动扰度时域曲线

图7 轮胎变形量时域曲线

4 结束语

以车辆主动悬架的2自由度1/4模型作为受控对象，将车辆的参数不确定性和执行器不确定性列为考虑对象，设计非脆弱H∞控制器，并通过线性矩阵不等式进行求解。仿真结果证明设计的控制器是有效的，能获得比被动悬架更优异的乘车舒适性，同时车辆的操纵稳定性也得到一定保证。

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DesignofNon-FragileH∞ControllerforActiveSuspension

MA Ke, MI Lin, TAN Wei, WANG Sulei

(Vehicle Engineering Institute, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

It presents an approach to design the non-fragileH∞controller for active suspension system with parameter uncertainty and actuator uncertainty constraints, and a quarter-car model with active suspension system is considered. By using this controller, the sprung mass acceleration, suspension deflection and tire deflection are optimized. The non-fragileH∞controller can be obtained by solving a linear matrix inequality, and the simulation model can be built to analyze in Matlab7.0/Simulink. The results from the simulation demonstrate that the controller obtains a good performance of ride comfortable with less expense of handing stability.

active suspension; non-fragileH∞controller; linear matrix inequality

2017-09-22

重庆市科委科技支撑示范项目(cstc2014fazktjcsf6004)；重庆理工大学科研启动基金资助项目(2015ZD06)

马克(1991—)，男，硕士研究生，主要从事汽车零部件研究，E-mail:1586751087@qq.com。

马克,米林,谭伟,等.主动悬架非脆弱H∞控制器设计[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(12):15-21.

formatMA Ke, MI Lin, TAN Wei, et al.Design of Non-FragileH∞Controller for Active Suspension[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(12):15-21.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.12.003

U461.4

A

1674-8425(2017)12-0015-07

(责任编辑刘 舸)