高观点 低结构 中温度

摘要：“高观点、低结构、中温度”是一种新的教学视角。高观点指向内容维度，进行大概念统整、思想性包摄、结构化关联；低结构指向过程维度，注重设计大问题、催生真学习、培养思维力；中温度指向情感维度，坚定“第一目标”，坚守“第一意识”，坚持“第一习惯”。

关键词：高观点；低结构；中温度；小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）11A-0017-05

成尚荣先生曾说：“课改，必须改课。”课程改革与课堂教学密切相关，如果没有深入彻底的课堂教学改革，课程改革也许永远找不到支点，成为一句停留于口头或纸面的口号。当下的学科教学，尤其是数学教学，正处在一种深度的变革之中：聚焦深度学习，关注高阶思维，践行以生为本……这些朝气蓬勃、朝向未来、指向儿童的教学改革趋向，无时无刻不在拨动着每一位数学教育工作者的心弦。

数学教学改革可能有诸多去向，多条路径，但可以肯定地说，“高观点、低结构、中温度”理念引领下的教学改革，无疑是一种新的视角。

一、高观点：指向内容维度，大概念统整、思想性包摄、结构化关联，使学习如“寻宝”一样新奇

“高观点”的提法源自德国著名数学家、数学教育家克莱因。克莱因博士认为，可以从高等数学的角度来审视初等数学。的确，高等数学宽阔的知识界面和深邃的思维方法，可以让许多初等数学的现象得到深刻、通透地理解。这是高观点本初的内涵。从这一观点出发，我们不难生发更多的联想：“高”者，超出常态也。高观点视角下的数学教学，也可以从内容的深浅维度（高观点原初的含义）迁移到内容的宽窄维度，推及思想的高低维度[1]。

目前，数学教学中存在诸多问题。比如，“只见树木，不见森林”，教学中就题论题、就事论事，只看到单一的“点状”知识而不及其余；比如，“只见皮囊，不见灵魂”，在重视知识、技能等知识“硬件”的同时，对隐含在知识内部的“软件”无知无觉，使数学教学“瘫”着，“立”不起来；比如，“只重当下，不念过往”，表现在教学中就是“斩头去尾烧中段”，只对眼前的教学负责，对知识“从哪里来”“往何处去”不再关注也不再思考[2]。

高观点的视角，可以站在学科结构和学生认知结构的深度，立在知识性与思想性相统一的高度，处在数学的知识抽象性、概括性、包容性等知识的宽度，使深度、高度、宽度有机地构成知识呈现的三维空间结构（如图1），通过大概念统整、思想性包摄、结构化关联，促使小学数学教学呈现出一派新的景象与新的生机[3]。

（一）大概念统领：用上位知识统整教学内容

大概念是美国教育心理学家奥苏伯尔提出的一种观念。所谓大概念，简单地说，就是上位知识。我们可以通过几个比喻来进一步说明上位知识。一是“金字塔”，上位知识处于学科知识“金字塔”的顶端，具有鲜明的抽象性、概括性、包摄性特质；二是“DNA”，上位知识内含遗传密码，具有强大的内生力、再发力和生长力；三是“鹰架”，上位知识犹如“鹰架”的支点，撑起这一支点，学科的其他知识和对应的学习行为就可以被“提”起来。比如，百分数的上位概念就是分数，百分数只不过是分数的一种特殊形态，即表示数量之间的关系且分母是100的分数。从这样的基点出发组织教学，全课的教学就可以呈现出一种大格局、大气象。再如，“用字母表示数”就是小学阶段代数知识的上位知识，如果参透其中的意蕴，相應的方程、正反比例的教学都可以迎刃而解了。

（二）思想性包摄：用内在灵魂构筑教学品质

数学知识有“硬件”“软件”之分。如果说静态的知识点是“硬件”的话，那么知识背后的那条若隐若现的数学思想线索即为学科知识的“软件”。它基于学科知识，又高于学科知识，与学科知识具有不可分割的辩证关系。弗赖登塔尔认为，“数学教学中最主要的成分始终是思想方法，而这确实是人类共同的思想源泉，即使作家或艺术家们也可以从中吸取营养”。从数学教学角度看，一堂课新往往就新在思维过程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在学生参与活动的深度和广度上。有思想深度的课，给学生留下长久的心灵激荡和对知识的深度理解，以后即使具体的知识忘了，但数学地思考问题的思想方法却将长久存在，这样的数学教学才具有真正的实效和长效。

比如，下面这道数学题中就蕴含丰富的思想元素：

教学中，在教师的引导下，学生先尝试着画一画、数一数，得出答案是6条，初步涉入尝试、枚举的方法。接着，教师引导学生思考：“怎样才能做到不重复、不遗漏呢？”提醒学生对之前的方法进行调整，从而形成优化、简约等思维方法。在此基础上，教师提问：“算式3+2+1中的3、2、1，分别在图中的哪个地方呢？能比画比画吗？”有机地培养学生几何直观的意识。教师进一步追问：“如果在图中再增加一个点，有多少条线段呢？如果再增加一个呢？”学生在列出算式后再把所有的算式进行对比，找出共性规律，有效地渗透了模型思想。

（三）结构化关联：用知识之序串起教学线索

学科之所以为学科，而不是概念与知识要点的简单堆砌，其中非常重要的原因就在于学科知识之间存在着不可割裂的内在结构。所谓结构，简单地说，就是事物之间的联系，它表现为组织形式和构成秩序。为此，我们必须合理地设计教学，使前后内容互相衔接、自然推演，编织一个具有生命力的、处于运动中的思维网络，引导学生深刻领会各个概念的实质，掌握蕴含在各个概念相互关系中的思维模式[4]。

特级教师朱国军教学“三角形的内角和”的一个片段让我们脑洞大开。在课末，他让学生回忆出本节课“用量角器量出各个角的度数后再相加”“撕下三个角后拼在一起”“沿三角形三条中位线对折后把三个角凑在一起”等研究方法后，出示中学教材里的相关截图：

通过分析截图，让学生了解到：中学教材是通过“平行线间的内错角相等”的原理，即∠2=∠4，∠3=∠5，因为∠4+∠1+∠5=180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，从而证明了三角形三个内角的和是180°。最后追问：刚刚在课堂里研究的三种方法与中学课本中的方法之间，有什么内在的联系呢？让学生体悟到：无论是哪个阶段、哪种方法，都是通过把三个内角拼成一个平角，从而弄清三角形的内角和是180°这一数学事实。如此教学，让我们看到，中小学学科知识之间就是一个经纬交融、融会贯通的立体网络，使我们感受到，在合适的教学环境下，我们完全可以让学生感受学科知识结构区别于科学知识结构的特有功能。

二、低结构：指向过程维度，设计大问题、催生真学习、培养思维力，使学习如“登山”一样给力

“低结构”产生于信息时代大背景，具有结构松散、富于变化、内容宽泛等特点。低结构的教学具有如下一些特点：

一是更为开放的目标。过去，我们的教学强调“小步子、慢慢走”，把教学内容分割成若干小块，分解到单元，细化到课时，每个课时都有具体的目标。而低结构的教学，遵循“下要保底，上不封顶”的原则，把教学目标放在一个较长的时间轴上来衡量，可以对教学的预期成效进行适度整合，对教学内容进行适当增减。

二是更为鲜活的过程。过去我们认为，所谓的学习，一定都是从上课铃响才开始的，学生进入课堂对所学知识是“零起点”、无知无觉的，然后在教师设计的教学环境中进行学习。而低结构的教学，则需要我们建立如科学家霍金所说的“酸甜苦辣皆是营养，成功失败皆有收获”的价值观，更加重视学生的感受、经历、探索、体验等过程。

三是更为丰富的资源。低结构的教学强调把学生带到一个开放的學习时空。这里没有时间的限制，没有围墙的控制，学生可以以自己的方式学习。这时，家长、网络、工具书都成了学生的学习资源。学习资源的开放，使学生对知识的理解和解读更为深入、深刻。

四是更为主体的感受。在低结构的教学中，学生不是围绕既定的目标进行小步子学习，而是源于自身的学习现实，拥有相对独立的学习空间；学生不仅仅是在与教师进行一对一交流，而是实现着师与生、生与生、生与小组之间多向立体化的交流；学生收获的，不仅是知识的增多、分数的提高，更是兴趣、思想、方法、意识和价值观的全面生长。

（一）低结构的教学，关注大问题

“必须用少量主题的深度覆盖去替换学习过程中对所有主题的表面覆盖，这些少量主题使得一些关键概念得到理解。”[5]我国台湾学者黄武雄在《学校在窗外》中写道：“如果学校还有第三件事可做，那么这第三件事就是留白，留更多的时间与空间，让学生去创造、去互动、去冥思、去幻想、去尝试错误、去表达自己、去做各种创作……”大问题的介入，就是在数学与儿童之间找到一个适切的坐标，在适度的大空间里，朝向儿童发展的“可能性”，一步一步地迈进。比如教学“认识百分数”一课，我把若干零碎的知识点整合成三个大问题，即“百分数的意义是什么？”“百分数与分数之间是一种怎样的关系？”“有了分数，为什么还要百分数？”。引导学生自带经验、自我研究、自我建构，在“打开的”数学空间里，他们有着更多的机会去思考，去创造，去表达，收获的不仅仅是知识的叠加和技能的熟练，更是经验的丰盈、能力的提升与探究欲的引燃。

（二）低结构的教学，催生真学习

每个儿童的身上，都蕴藏着与生俱来的学习天性。有效教学必须唤醒儿童固有的“原欲”。学习最大的问题是“没有感觉”，思维处在疲沓、懒惰和“无所谓”的状态，视而不见，听而不闻，感而不觉。如此，学习就不会真正发生。皮亚杰的发生认识论告诉我们，在新颖刺激物的反复作用下，儿童的图式才会进行调节，认知的开放性才会战胜封闭性。医治“没有感觉”顽症的良药，就是唤起学习的“惊奇感”，从而让学生产生匠心独运、别有洞天之感。

教学“用数对确定位置”这一内容，我充分认识到，数对不应只是生活中“第几列第几行”的直接升级，而应把它作为“平面直角坐标系”的雏形。于是，先在一维创设了“小鸭出行”的情境，提炼出小鸭的位置与“方向”与“距离”两个因素有关的原初经验，在学生思维处在“愤悱”之际，巧妙地在二维的界面上创设“小鸭在哪里”的大问题，引导学生自由想象，自我表征，从而萌生出纵轴的雏形并进而构造完整的网格图，使平面直角坐标系呼之欲出。

（三）低结构的教学，培养思维力

当下，关于数学核心素养的内涵与外延的纷争还在持续。但不可否认的是，无论是基本思想还是核心概念，在实践层面，其落脚点都会不约而同地聚焦于同一个点，那就是数学思维。无怪乎，当郑毓信先生果断而坚定地提出“为思维的发展而教”这一理念后，我国数学教育界给予了一致认同与支持。

低结构的教学着力培养的是学生高阶思维的能力。在美国教育家布卢姆的目标分类理论的基础上，人们提出了低阶思维与高阶思维的概念。低阶思维对应的是记忆、理解、应用，而高阶思维对应的行为表现是分析、评价、创造。好的教学应尽可能多地为高阶思维打开“方便之门”。

教学“三位数乘两位数”这一内容，在学生自己尝试计算出123×12的结果后，教师适时抛出问题：“学习有正迁移也有负迁移，用两位数乘两位的方法算出三位数乘两位数的结果，就一定正确吗？能用别的方法进一步证明吗？”“一石击起千层浪”，此时学生欲罢不能，纷纷给出了证明方法：①先求2个123，再求10个123，最后相加。②把12拆成2乘6，123乘2等于246，246乘6。③用所得的结果除以12，看结果是不是123。④辅以板条图，直观说明结果是对的。这样的设计，一改计算教学重算法重训练、轻思维轻思想的惯习，使学生的思维向广度、向深度漫溯。

三、中温度：指向情感维度，坚定“第一目标”、坚守“第一意识”、坚持“第一习惯”，使学习如“呼吸”一样自然

教育是有温度的，而温度一定是有高低的。好的教育应该是中温的，这种中温就是“27℃的感觉”。研究表明：一滴27℃的水，滴在你的皮肤上会让你浑然不觉。这种中温教育，既非刻意造作，也非别有所图，其特征就是一切发于内心、源于本性、出于本能。中温教育的提出，就是力求表达一种朴素的理念：教育的使命之一，就是让儿童的生命在和煦的阳光下，在和暖的微风中，自由地、自然地舒展与生长。

（一）发于内心：坚定“第一目标”，这是中温教育的价值认同

教育的第一目标是什么？是知识的累积，还是能力的培养？也许都是，但似乎又缺少了什么。谈起有效教学，有人曾打过一个比喻：有两个人同时穿越一片玉米地，穿越后比什么呢？需要比两人谁跑得快，需要比谁手上的玉米多，但更重要的是要比谁手上的划痕最少。类推到教学中，“跑得快”就是进度快，“掰的玉米多”就是收获大，“划痕最少”则喻指在学习过程中所形成的正确的、向上的情感。

布卢姆认为，认知行为和认知目标、情感行为和情感目标类似于两把梯子。“这两个梯子的构造，使一个梯子的每一级正好在另一个梯子每一级的中间。通过交替地攀登这两个梯子——从这个梯子上的一级踏到另一个梯子上够得上的一级——就有可能达到某些复杂的目的。”[6]一位台湾同行说得好：“不要给学生背负太多的东西，要给学生带得走的东西。”我们认为，能带得走的东西中，一定包含积极向上的学习情感。如此种种论述，其内涵正如一学者提出的“素养=（知识+能力）×情感”公式一般，在人生的“算式”中，如果情感是负数，那知识越多、能力越强，则外显出来的素养值就会越小，对社会的危害就越大。反之亦然。

（二）源于本性：坚守“第一意识”，这是中温教育的实践智慧

教学中，教师会针对学生的即时行为形成一定的意识与回应。在这些意识与反应中，不应是进度第一、预设第一、效率第一，而应是儿童的当下第一、儿童的天性第一、儿童“可能性”的重视与开发第一。于永正先生在《假如时光倒退十几年……》一文中说：“如果时光老人再给我十几年的时间，让我重教一年级，上课时我会关注每一位学生，不再只是关注教案、教学。岂止是教一年级，教任何年级都要认真读每个学生的表情、动作，从中读出他们的内心，并做出正確的判断，采取相应的措施。”[7]

学习“笔算除法”一课，我班有一个叫孙乐宸的同学这样算的：

他说：“书本的除法竖式太麻烦了，这样写也很好算，加、减、乘不都这样写吗？”对这样看似非常可笑的问题，我微笑着对他说：“孩子，你想怎样算就怎样算，老师为你开绿灯。”一周后，孙乐宸主动找我，不好意思地说：“老师，我的那种算法有局限性，只有在当时学的那个内容才有用。”我依旧笑着摸着他头说：“孩子，明白了就好！”过了一学期，孙乐宸乐呵呵地跑来告诉我，他围绕这个例子写了一篇好几百字的小论文，在省级报刊上发表了。

（三）出于本能：坚持“第一习惯”，这是中温教育的应有情怀

叶圣陶先生曾说：“教育是农业，不是工业；儿童是种子，不是瓶子。”是的，教育是“慢的”，是急不来的，我们倡导的中温教育，就是力求珍视“每一个”，聆听每朵花绽放的声音，让“等一等”成为教学的“第一习惯”。

教学“圆的认识”一课，我让学生先用圆规画一个圆，再让他们把这个圆剪下来，希望他们在剪的过程中体验圆是平面上的曲线图形。可是有一位学生没带剪刀，情急之下，他想到了以用圆规的针尖在画好的圆周上戳孔的方法来获得圆片。当我来到他身边并发现他的这一做法时，他惶恐万状，不知所措。可我惊喜地捕捉到这一方法背后的教学价值，鼓励他来到讲台前，边操作边引导全班学生进行想象、思考：“这样的方法能否获得圆？”“一针戳下去，就会形成一个孔，这个孔相当于数学中的什么？”“如果依次这样戳下去，就会形成什么？”“究竟什么叫圆呢？”如此教学，盘活了教学资源，点亮了学生的学习“心灯”，更激活了他们的求异思维和创造欲望。

参考文献：

[1][2][3]周卫东.高观点视角下的小学数学教学[J].教育研究与评论（小学教育教学）， 2018（8）：51-54.

[4]余文森.论学科核心素养形成的机制[J].课程·教材·教法， 2018（1）：4-11.

[5]约翰·D.布兰思福特，等.人是如何学习的[M].程可拉，等，译.上海：华东师范大学出版社， 2013：18.

[6]B.S.布卢姆，等.教育目标分类学：第二分册 情感领域[M].施良方，张云高，译.上海：华东师范大学出版社， 1989：64.

[7]于永正.假如时光倒退十几年……[J].江苏教育研究， 2010（3C）：18-20.

责任编辑：杨孝如