编拟数学试题的两个科学性原则

张国治 吴梦璇

数学试题的编拟是教师创造性教学活动的基本功.笔者认为首先应遵循科学性原则，所谓科学性原则指有关数学概念必须是被定义的，有关的记号必须是被阐明的，条件必须是充分的、不矛盾的，条件必须是独立的、最少的，叙述必须是清楚的，要求必须是可行的 [1].本文仅谈谈三视图还原几何体时试题编制中应该注意的两个科学性原则.不当之处敬请批评指正.

1 试题条件的充分性

试题条件的充分性指试题编拟过程中题目的条件对于推出结论是充分的，而有些条件不充分的题目，之所以存在，是由于解题时有心理上的“潜在假设”，或逻辑上的“以偏概全” [2].

例1（1） （2010年福建高考题文科第3题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1所示，其 侧面积 等于

（2）（2010年福建高考题理科第12题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1所示，则其 表面积 等于[CD#3].

解析 高考標准答案分别是选D和6+ 2[KF（]3[KF）].此题命题者在编拟试题时有心理上的“潜在假设”，即认为是直三棱柱，但题设条件是不能确定一定是直三棱柱.事实上，只给出主视图为矩形的三棱柱并不唯一，其左视图可能是平行四边形，未必一定是矩形;同样底面是正三角形的三棱柱其俯视图未必一定是正三角形.即符合题意的三棱柱可能是斜三棱柱（无数个），这样其侧面积或者表面积不是一个确定的常数.故此题的答案并不唯一.

试题的修正

（1）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1所示，则其 体积 等于[CD#3].

或给出俯视图或者侧视图修正如下：

（2）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1所示，其俯视图正三角形.则其 表面积 等于.

例2 （2012年福建高考题理科第4题）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可能是（  ）.

A.球    B.三棱锥

C.正方体  D.圆柱

解析 高考标准答案是选D.

题目编制者设置选项时认为：球的三视图均为圆，且大小均等;三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同;正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形;圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形.故选D.事实上，此题命题者在编拟试题时有心理上的“潜在假设”，即认为圆柱按水平或竖直放置时，圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形，显然不相等.但若适当改变放置角度，情况也许会有不同，如若将圆柱“嵌套”于正方体中，使得圆柱旋转轴所在直线与正方体的一条对角线重合（如图2）.这时，不难得到圆柱三视图形状都相同、大小均相等.

因此，此题为一错题，答案的设置上欠严谨.

2   试题答案的确定性

试题答案的确定性是指试题编拟过程中数学试题答案是可知的、确定的，不会出现模棱两可的情况.

例3 （“希望杯”全国数学邀请赛.全国数学邀请赛试题·培训题·解答（高中）[M].气象出版社2016（10）P36第29题） [3]

一个几何体的三视图如图3所示，其体积是（  ）.

解析 该资料提供的答案是C.如图4，此几何体是正四面体如图5，其四个顶点分别是正方体的顶点.所以其体积为

1×1×1-4× 1 3 × 1 2 ×1×1×1= 1 3 ，故选C.

解答错了，错在哪里？

上述题目及解答似乎无懈可击，但却犯了一个致命的错误即解答并非等价转化，解答者在解答时有心理上的“潜在假设”.实际上本题转化并不等价，即不同几何体的三视图可以相同，但某个几何体一旦被确定以后，其对应的三视图必是唯一的，反之，同一三视图可能对应多个几何体 [4].

正确解答：（具体操作策略详见文[4]）

Step1画  根据三视图画出对应的正方体（如图4）;

Step2垂  根据正视图中各线条的交点在正方体的后“面”找到对应的点，然后从后向前垂直拉伸;根据俯视图中各线条的交点在正方体的下“面”找到对应的点，然后从下向上垂直拉伸;根据侧视图中各线条的交点在正方体的右“面”找到对应的点，然后从右向左垂直拉伸（如图4）;

Step3选  由图可知，点A，B，C，D，A′，B′，C′，D′为“可疑点”（如图4）， 题设中正视图、侧视图、俯视图内框中有虚线和实线，故必分别出现在正方体的后面和前面、右面和左面、下面和上面.因此连结CD′，AB′;AD′，B′C;AC，B′D′（如图4），这样点A，B′，C，D′处均有6条线段，而A，B，C′，D处均有3条线段，这样顶点A，B，C′，D可以被剔除;

Step4连  若全部剔除，将其余“最优点”A，B′，C，D′连线并隐去所有的辅助线条即可得到还原的几何体（如图5）;若剔除A，B，C′，D中的三个，而只保留其中一个，将其余“最优点”连线并隐去所有的辅助线条即可得到还原的几何体（如图6、如图7、如图8、如图9）;

Step5验  验证图3、图4、图5、图6、图7所示的几何体均符合题意.

所以，若几何体是图5中的四面体，其体积为1×1×1-4× 1 3 × 1 2 ×1×1×1= 1 3 ，故选C.

若几何体是图6、图7、图8、图9中的六面体，则其体积为1×1×1-3× 1 3 × 1 2 ×1×1×1= 1 2 .

试题修正1

一个四面体的三视图如图3所示，其体积是（  ）.

A.1  B. 2 3   C. 1 3   D. 5 12 试题修正2

一个几何体的三视图如图3所示，其体积为[CD#4].

答案： 1 3 或 1 2 .

例4 一个正方体被截后，剩余部分的三视图如图10所示，则截取部分体积与剩余部分的体积的比值为 [4][CD#3].

解析 （具体操作策略详见文[4]）

Step1 根据三视图画出对应的正方体;

Step2 根据正视图中各线条的交点在正方体的后“面”找到对应的点，然后从后向前垂直拉伸;根据俯视图中各线条的交点在正方体的下“面”找到对应的点，然后从下向上垂直拉伸;根据侧视图中各线条的交点在正方体的右“面”找到对应的点，然后从右向左垂直拉伸.（小技巧：此题的三视图交点形式与正方体三视图交点形式一致，于是可以直接描黑Step1中的正方体的八个顶点，无需再通过拉伸找点，以节省时间）;

Step3 由图可知，点A、B、C、D、A′、B′、C′、D′为“可疑点”（如图11）， 由于题设中正视图、侧视图、俯视图内框中有实线，故必出现在正方体的前面、左面、上面.因此连结AB′、AD′、B′D′（如图12），这样点

A、B′、D′处均有5条线段，而点A′处只有3条线段，即正方体中从顶点A′出发的三条棱上的点A、B′、D′为“最优点”，故顶点A′可以被剔除;

Step4 将“最优点”A、B、C、D、B′、C′、D′连线并隐去所有的辅助线条即可得到还原的几何体（如图13）.

Step5 验证图13所示的几何体符合题意.

易知

V三棱锥A-A′B′D′=[SX（]1[]6[SX）]V正方体ABCD-A′B′C′D′，所以截取部分体积与剩余部分的体积的比值为[SX（]1[]6[SX）]∶[JB（（]1-[SX（]1[]6[SX）][JB））]=[SX（]1[]5[SX）].

解答错了，错在哪里？

解答者在解答时有心理上的“潜在假设”，认为几何体被平面所截是被截一次所得结果.事实上，不同几何体的三视图可以相同，但某个几何体一旦被确定以后，其对应的三视图必是唯一的，反之，同一三视图可能对应多个几何体.正确的解答：

若被平面截取一次，同上述解法还原后的几何体可能如图13所示的几何体;

若被平面截取两次，注意到正方体中从顶点C出发的三条棱上的点B、D、C′为“最优点”，故顶点C可以被剔除.将“最优点”A、B、D、B′、C′、D′连线并隐去所有的辅助线条即可得到还原的几何体（如图14）.经验证图14所示的几何体也是符合题意的.此时，易知

V三棱锥C′-BCD=V三棱锥A-A′B′D′=V正方体ABCD-A′B′C′D′，

V多面体ABCD-A′B′C′D′=V正方体ABCD-A′B′C′D′-2V三棱锥A-A′B′D′=

.所以截取部分体积与剩余部分的体积的比值为

若要使的答案唯一，可作如下修改：

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图10所示，则截取部分体积与剩余部分的体积的比值为（  ）.

A.  B.C.   D.

数学试题的编拟是教师创造性教学活动的基本功之一 [5].笔者认为遵循科学性原则是数学试题编拟的必要前提，试题条件的充分性指试题编拟过程中题目的条件对于推出结论是充分的，而有些条件不充分的题目，之所以存在，是由于解题者在解题时有心理上的“潜在假设”，或逻辑上的“以偏概全” [6].但实际上上述题转化并不等价，即不同几何体的三视图可以相同，但某个几何体一旦被确定以后，其对应的三视图必是唯一的，反之，同一三视图可能对应多个几何體 [4].

参考文献

[1] 张国治;郭江燕;李晓云.例谈编拟数学试题的科学性原则——以高考题、竞赛题中的错题为例[J].数学教学，2016（8）：3-6+9.

[2] 张国治.两道竞赛题的纠错[J].数学教学，2012（9）：32-33.

[3]  “希望杯”全国数学邀请赛.全国数学邀请赛试题·培训题·解答（高中）[M].气象出版社，2016（10）：36+51.

[4] 张国治，程似锦，席光煜，赵佳睿.三视图还原几何体的一种高效通法[J].数学教学，2016（6）：19-24.

[5] 新青年数学教师工作室.当代中国数学教育名言解读[M].上海：上海教育出版社，2015.8.

[6] 张丽娟，张国治.错在哪里？[J].中学数学教学，2017（5）：79-80.