与导数相关的几类问题研究

卢俐君

【摘要】导数是中学乃至大学数学中微积分部分的基础知识，譬如复变函数、泛函等都是以导数作为基础。导数在的几种问题，尤其在单调性、不等式等方面，求解非常方便、简洁。同时衍生出的拉格朗日乘子法为解决最优化问题提供了几乎无可取代的作用，不仅拓宽了解题方法，而且加快了解题速度。以导数在极限、不等式和函数三个方面中的应用为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

【关键词】導数 单调性 不等式 拉格朗日乘子法

一、导数与单调性

小结：导数与单调性相关的问题本质都是要转化为导函数的恒成立问题，这也是导数学习中的重难点。这类问题主要有两类解题思路：参变分离和分类讨论。要注重体会二者的区别和联系。注意（1）参变分离使用得较为频繁；（2）优先考虑定义域。

二、导数与不等式

导数与不等式主要包含以下两类问题：

（1）含参不等式的恒成立问题。

在含参不等式中，如果能够将参数分离出来，则将另一端看作一个函数，再求这个函数的最值或端点值。若不能够分离，则先把不等式函数化，再根据函数的定义域并结合函数图像，求出这个函数在其定义域上的最值或值域。

三、拉格朗日乘数法

四、总结

导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，单调性问题。同时，导数在其他领域，如物理学的加速度和曲率半径等涉及变化率的问题中也发挥了巨大作用。

参考文献：

[1]王静，王晓燕.导数在数学高考中的“六大”热点[J].中学数学杂志，2010，（05） ：53-55.

[2]吴志勇.解析高考中的导数热点问题[J].数学学习与研究，2014，（17） ：90-91.

[3]钱耀周.导数与不等式[J].高中数学教与学，2006，（07） ：19-21.endprint