概率论与数理统计教学中学生数学建模思想激发的研究

王翔++谭希丽

【摘要】本文阐述了建模思想在概率论与数理统计教学中的重要性；总结了概率论与数理统计中激发学生数学建模思想的途径和方法，并结合实际例子进一步说明；通过在概率论与数理统计教学中激发学生的建模思想，以此提升学生解决实际问题的能力.

【关键词】概率论与数理统计；数学建模思想；解决实际问题

【基金项目】吉林省高等教育教学改革研究重点课题（2015）：创新应用型统计类专业人才培养模式研究与实践.

一、引言

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门数学学科，它从数量化的角度揭示了事件偶然性和必然性的联系，由于随机现象的普遍性，使得概率论与数理统计的思想和方法得到了广泛应用.其所涵盖的随机事件的理论内容和科学方法，对学生解决实际问题能力的培养有着极其重要的作用.数学建模是通过调查、搜集数据、资料、观察和研究其固有的特征和内在的规律，从问题的主要矛盾出发，提出假设，通过抽样简化，建立反映实际问题的数量关系，从而利用所学的数学知识解决实际问题.近几年来，全国大学生数学建模竞赛活动中都不同程度地涉及概率论与数理统计相关知识，因而在概率论与数理统计教学中激发学生数学建模思想将有助于学生学习理论知识，同时也会提升学生解决实际问题的能力.

二、概率论与数理统计教学中激发学生数学建模思想的重要性

传统的教学方法中，教师只是通过讲解定义、定理，让学生理解后再做习题以便更好地掌握定义、定理，这种方法虽能很好地运用解题套路做对习题，但是在面临解决实际问题面前还是感到无从下手，若在课堂上激发学生的建模思想，不仅能提高学生学习的兴趣，还能更好地活跃课堂的学习气氛，让学生在轻松的氛围中学习知识、掌握知识.

概率论与数理统计是一种与观测试验、数学思想相结合的课程，其理论方法渗透在生活的各个方面，如，彩票中奖问题、保险问题、风险投资选择问题，都需要先对研究对象进行抽样，然后进行检验，再做出判断来解决问题.在近几年的全国大学生数学建模竞赛题目中可以看出，竞赛题目涉及概率论与数理统计的知识越来越多，因此在概率论与数理统计教学中激发学生的数学建模思想不仅可以让学生掌握基本知识与方法，还能帮助学生将理论知识与统计软件结合，提升学生的数学建模能力.

三、激发学生数学建模思想的途径和方法

“启发式”教学法.在教学中可引导学生利用自己所学的知识去发现问题、分析问题、解决问题，让他们自觉地去领悟和体会知识.

例1根据调查某大学就餐高峰约5 000名，餐厅工作人员50名，用餐高峰为30分钟，每名学生挑选食物占用的平均时间为0.3分钟，每名学生挑选食物的概率为0.01，为缓解高峰期的就餐压力，增加多少名工作人员最为合适？

问题的提出：为缓解压力最实际的解决办法就是适当地增加餐厅工作人员，那么增加多少名员工最为合适呢？

问题的解决：当挑选食物的学生超过50时食堂就会出现等待状况，则设高峰期有X名学生进入食堂及就餐，5 000名学生是相互独立的，每人挑选食品的概率为0.01，因此X服从二项分布b（n，p），n=5 000，p=0.01，由公式

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k.

计算可得餐厅工作人员在59到62名时学生等待的概率比较合理，高峰就餐压力也会得到缓解.

“实际案例结合”法.为了更好更快地激发学生们的数学建模思想，便从实际问题出发，在解决问题的过程中引入相应的理论知识，这种方法选择的案例必须具有典型、新颖且具有针对性，这种方法偏向于实际性，容易激发学生的兴趣，也更容易被学生所接受.

例2要估计一个水库中鱼的总量N，先从水库里捞出m条鱼并做上标记再放入水库中，等鱼在湖中分散开后再从水库里捕n条鱼，其中有s条鱼做标记，求水库中鱼的数量N.

问题的提出：水库中的鱼要供应市场，多捕多卖钱，但是过度捕鱼会影响鱼的繁殖，为掌握好水库中鱼的数量就要知道水库中鱼的总量.

问题分析：若水库中鱼的总量N，我们通过抽样分析来估计水库中鱼的数量，将水库中的鱼打捞出一部分做上标记后再放入水库中，等鱼充分散开后再次捕捞，根据得出的数据信息估计水库中鱼的數量.

问题的解决：水库中鱼的总量N，先从水库里捞出m条鱼并做上标记再放入水库中，等鱼在湖中分散开后再从水库里捕n条鱼，其中有s条鱼做标记，第一次捕鱼，其中带有标记的鱼所占比例为mN（频率），第二次捕鱼，其中带有标记的鱼所占比例为sn（频率），由于每条鱼被捕的概率都相等，利用频率估计概率的方法得出mN=sn，可得N=mns.

“软件结合”法.概率论与数理统计中经常对大数据进行处理，掌握统计软件是十分重要的，根据实际案例让学生掌握SPSS、SAS等软件的基本功能，并根据实际案例给学生展示如何选择统计方法、建立统计模型、处理数据并体会如何分析数据结果.

例3给出了山东某学校某班学生的高考数学成绩，试用均值过程比较.

可以利用SPSS软件中“比较均值”方法，得到该班不同性别的学生之间成绩是否存在差异.

通过上面的实例可以看出，在概率论与数理统计教学中，可根据教学内容选取一些典型案例，利用所学知识进行解决，为激发和培养学生的数学建模思想可通过数学建模的思想去解决问题，此方法不仅可以加深学生对概率论与数理统计知识的理解和应用，也有利于提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，也使得概率论与数理统计这门课程更加有吸引力.

【参考文献】

[1]杨维忠，张甜，刘荣.SPSS统计分析与行业应用案例详解[M].北京：清华大学出版社，2015.

[2]张玲，徐伟，赵冬霞.浅析概率统计思想融入数学建模[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2014（2）：5-8.

[3]韦程东，唐君兰，陈志强.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛，2008（2）：98-100.