基于PDE模型对我国人口总量的研究与预测*

吴忠诚，朱家明，邓卓航

(安徽财经大学)

基于PDE模型对我国人口总量的研究与预测*

吴忠诚，朱家明**，邓卓航

(安徽财经大学)

针对我国人口数量的增长趋势，对比并选择较适宜进行人口预测的FDE模型.查阅最新统计年鉴数据，依据已有的往年参数数据，使用MATLAB、EXCEL等软件对模型中的关键参数值进行预测，将预测的未来我国总人口的出生率、死亡率等参数值带入原假设的数学形式模型中得到最终的可计量PDE模型；根据官方公示的年末人口总量统计数据，使用上述的模型进行迭代求解，达到对我国2017～2030年年末总人口进行预测的目的.最后对预测的结果作出浅要分析.

人口预测； PDE模型；灰色预测；Lee-Cater模型；MATLAB

0 引言

中国是目前人口总量最多的国家，人口问题始终是制约我国进一步发展的关键因素之一.随着我国逐渐步入老龄化的社会，人口问题成为热点话题.我国人口数量与结构的不断变化，不但显著的影响了我国未来的经济发展水平，而且还会带来一系列机遇和挑战.人口预测就是根据现有的人口状况并考虑影响人口发展的各种因素，按照科学的方法，测算在未来某个时间的人口规模、水平和趋势.按照预测所依据的本质不同划分为两大类[1]：一、趋势法：根据过去人口数量的统计数据，并假设今后人口的变化趋势仍按同样的函数曲线发展，即可估算未来人口的数量.常用的人口发展函数有几何发展函数、指数发展函数、修正指数发展函数.这类方法的特点是利用某一确定的数学函数为基础，因此又称数学方法.其弊端是不考虑数量变化的本质，而仅仅研究过去的数量变现出来的外在特征进而进行趋势上的延伸预测，一旦某些指标值发生了变化，趋势发生改变，这种预测就会产生较大的误差.二、因子分析法：这是现代广泛应用的一种预测法.它要求所研究的人口具有较详细的统计数据，如按年龄和性别的人口数、出生率、死亡率等方面的资料.根据这些数据，可对未来出生率、死亡率的变化作出估计，进一步预测人口数量和结构的变化.人口的预测工作为社会经济发展规划提供重要的信息，也可据以出台适应时代的生育政策等.因此，人口预测有着十分重要的意义.该文即采取因子分析法中的一种，利用人口、发展和环境三方面的因子构建人口-发展-环境分析模型[2](PDE)(如图1所示).按照种群数量增长理论，选取影响我国人口的出生率、死亡率、迁入率和迁出率作为因子构建模型的数学表达式，通过采用几种已成熟的预测方法对出生率、死亡率、迁入率与迁出率分别进行预测估计，将得到的参数序列值作为相应参数值带入模型构建可计量的PDE模型，最终对我国2017～2030年的人口总量进行合理的预测.

图1 PDE模型建立思维导图

1 数据的选取及假设

该文的数据均来源于中国国家统计局，保证了数据的真实有效性.为了使得模型在预测的过程中更加准确和便于研究的进行，就此文章提出以下四条假设：(1)假设所查阅和引用的统计数据均准确、有效；(2)人口数量的变化主要影响参数只有出生、死亡和净迁入，不考虑其他次要因素；(3)在预测年限内，国内不会发生重大的人口变迁；(4)不考虑大型自然与人为灾害.

表1 2001～2016年我国人口统计指标值

表1中因官方统计年鉴数据仅覆盖2015年，故2016年的统计指标数据无法直接获取.为了保证数据来源的真实可靠，又便于模型的建立，文章借鉴国内知名论坛2017年01月对2016年人口的统计数据.

2 PED模型数学形式的构建

2.1 研究思路

人口-发展-环境分析模型(PDE)的主要思路认为人口数量与结构是过去的人口数量与结构演变的结果，模型的每个层次的结果存在递推的关系，即第t年末的人口等于t-1年末的人口数量减去t年当年死亡人口数量，加上该年新出生人口和净迁入人口数量(第t年净迁入人口数量=第t年迁入人口数量-第t年迁出人口数量).首先对模型中参数进行预测，随后依据往年人口总数进行迭代推算以达到预测的目的.

2.2 模型建立

根据上述的思路可以建立生命周期模型的数学式[3]

Pt=Pt-1-Pdt+Pbt+Pit=Pt-1(1-dt+bt)+

Pit=Pt-1(1+n1)+Pit

(1)

模型中符号Pt为第t年总人口数量、Pt-1为第t-1年总人口数量、Pdt为第t年的死亡人口的数量、Pbt为第t年的出生人口的数量、Pit为第t年的净迁入人口的数量、dt为第t年的人口死亡率、bt为第t年的人口出生率、nt为第t年的人口自然增长率.

3 PED模型参数的预测及计量模型建立

3.1 研究思路

根据上述建立的PDE模型中所涉及到的参数可知，在进行可计量的模型的建立必须涉及到的参数有人口基数Pt-1(第t-1年总人口数量)、第t年我国的净迁入人口率、该年人口的出生率bt及该年人口的死亡率dt.因此为了得到模型参数，必须对未来我国人口的出生率、死亡率和经迁入人口数进行合理的估计，并在此基础之上建立未来人口的预测模型.

3.2 研究方法

(1)对我国出生率的研究

由表1中的数据可知我国的出生率的变化并没有较为贡献的外在特征，但是其与时间表现出一定序列相关性.基于出生率随着时间的波动关系，在此对未来的出生率采用灰色系统GM(1,1)[4-5]进行预测.根据已给定的原始序列，通过累加生成并求解相应的灰色微分方程将序列延续进行，以达到预测的目的.运用MATLAB软件编写灰色系统程序，以2001～2016年的出生率数据为原始数据，将预测长度延续到2030年，软件输出的部分结果见表2.

表2 灰色预测各年出生率

采用残差检验[6]、后验差检验和关联度检验这三种方法共同对上述灰色系统模拟的精度进行检验，检验结果显示上述的预测效果较好.

(2)对我国人口死亡率的研究

从表1中可以清晰的看出我国总人口的死亡率随着时间的推移而有逐渐上升的趋势，由于从改革开放的“鼓励生育政策”到1971年全面实行计划生育政策之间的一大批人口正逐渐步入高龄，虽然我国的医疗水平有着较大幅度的提高，但是也无法改变由于老龄人口巨大的基数带来的死亡率.为了较为准确的了解未来我国总人口的死亡率数据，此处选用改进后的Lee-Carter模型[7]对死亡率进行预测.

Lee-Carter模型思路为将死亡率的变化分为时间因子t和年龄因子x两部分.若用符号mx,t表示年龄为x的人群在时间t的中心死亡率，则有mx,t满足函数表达式(2).

ln(mx,t)=αx+βxkt+εx,t

(2)

为了能够得到唯一的参数估计值，上述模型于下列必要限制条件(3).

(3)

(4)

对于上述Lee-Carter模型的核心步骤在于使用往年统计的死亡率对模型中的参数αx,βx,kt进行合理的预测，参数的估计方法为极大似然估计法[8](MLE)，随后将预测的参数值带入公式中继而进行死亡率的预测.

通过MATLAB软件编程对参数进行预测，得到相应Lee-Carter模型，结合表1中的2001～2016年的人口死亡率对2017～2030年的我国人口死亡率预测的结果见表3.

表3 2017～2030年人口死亡率预测值

(3)对我国净迁入率的考虑

查阅官方统计资料显示，我国每年的净迁入(出)人口只有几万人，而每年新生人口数量上千万，所以每年迁入迁出的人口数量对我国人口的影响作用微乎其微.若将其考虑入模型中进行计算，虽然增加了模型的少量精度，但是会增加较大的数据收集、处理、计算的工作量.考虑到模型的相对精简，在此将模型中净迁入人口数Pit剔除，不给予相应的考虑.

3.3 研究结果

通过上述的准备工作，将所得到的数据在Excel中依据公式⑴进行迭代求出最终的预测结果见表4.

表4 我国2017-2030年人口总数预测值

绘制实测2001～2016年和预测2017～2030年我国的总人口数量如图2所示.

图2 我国人口总数随时间变化图

根据上述人口数量的时间序列图可明显的看出我国人口随着时间推移而逐渐增长的特征，人口总数将在2018年末突破14亿大关.随着2016年我国全面放开生育政策之后，人口总数相对于原来的增长趋势向上提升了一个层次.

4 结束语

文章从影响人口因子的方面对我国2017～2030年的人口总数进行了预测.文章虽对出生率的预测进行了优度检验、对死亡率的预测使用了Lee-Cater的改进模型，但是由于模型本身存在缺陷会使得预测结果产生一定误差，故在最终的PDE模型迭代求解过程会对结果产生相应的影响.文章最大的特点在于将我国人口的增长类比于种群的增长，将人口增长归因于出生率、死亡率的变化，后分别通过不同的模型对因子进行预测和分析，最终建立起可以计量的模型并通过迭代进行预测.根据预测的结果可以看出2016年存在一个增长节点，即国家全面实行二胎政策，虽然相比2015年出生率有所增加，但是通过预测曲线的趋势拟合后，会削弱这种增长跨度，从而会对预测产生影响，后期也会逐步进行优化.从预测结果的整体情况来看，虽然生育政策全面实施，但是人口增长的趋势整体没有发生太大的变化，究其原因笔者认为有以下两方面[9]：一、虽然政策已经放开，但是对于持续上升的物价和逐渐改变的传统观念，越来越多的人从经济和思想水平上已经不愿意甚至无能力再生二胎.二、由于我国从改革开放的“鼓励生育”到“计划生育”之间的巨大比重的人口正步入并停留在高龄状态，尽管近年来我国医疗水平得到提高，但是人口死亡率仍在缓慢增加.我国即将会迎来一个老龄化浪潮.通过以上对人口的预测可以得到中国有关人口参数的变化趋势，这对我国进一步制定相关的人口政策、研究人口经济具有重要的借鉴意义.

[1] 孟令国,李超令,胡广.基于PDE模型的中国人口结构预测研究[J].中国人口.资源与环境,2014(2):132-141.

[2] 宋佩锋.人口预测方法比较研究[D].安徽大学,2013.

[3] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2014.

[4] 朱登远,常晓凤.灰色预测GM(1,1)模型的Matlab实现[J].河南城建学院学报,2013(3):40-46.

[5] 刘树,王燕,胡凤阁. 对灰色预测模型残差问题的探讨[J].统计与决策,2008(1):9-11.

[6] 李志生,刘恒甲.Lee-Carter死亡率模型的估计与应用—基于中国人口数据的分析[J].中国人口科学,2010(3):46-56，111.

[7] 赵军圣,庄光明,王增桂. 极大似然估计方法介绍[J].长春理工大学学报,2010(6):53-54.

[8] 朱家明,王犁,童金萍,等.我国就业人数的主要影响因素及前景预测[J].数学的实践与识,2010,40(15):12-24.

ThePredictionofPopulationinChinaUsingPDEModel

Wu Zhongcheng, Zhu Jiaming，Deng Zhuohang

(Anhui University of Finance and Economics)

In view of the trend of population growth in China, the FDE model of population prediction is compared and selected. Refer to the latest statistical year book data, according to the existing parameter data of previous years, the use of MATLAB and EXCEL software value to estimate the key parameters, the model will predict the future of China's total population birth rate, mortality and other parameter values into the original hypothesis in the form of mathematical model to get the final can measure the PDE model. According to the official year-end population statistics data, the above models are used for iterative solution to achieve the forecast of China's total population by the end of 2017-2030. Finally, the prediction results are analyzed.

Population prediction; The PDE model; Gray prediction; Lee - Cater model; MATLAB

李家云)

TP391

A

1000-5617(2017)04-0001-05

2017-07-03

*国家自然科学基金(11601001)；国家级大学生创新训练计划(201607581236)

**通讯作者:zhujm1973@163.com