数形结合 发展学生数学思维

陈 波

（浙江省宁波市鄞江中学，浙江宁波 315100）

引 言

高中学习知识和以前学习的知识有所差别，在以前的基础上上了很大的一个台阶，这尤其体现在高中数学上，其中复杂的解题思路更是成了数学中的难题。在数学教学中，函数换元思想是一种非常重要的数学解题方法。函数换元就是将复杂的数学表达或复杂的数学思想进行替换，通过替换转换了一种思想，一种解题思路，从而让学生对学习数学产生兴趣，只要巧用一些数学思想，学习高中数学会变得简单些。

一、以形助数，联结数与式

一直以来，数形互变就是所有老师最为提倡的一种解题方法，这种方法在高中数学中更是体现得淋漓尽致。教师应该采取适当的方法设计课程，寓数于形，以形于数来帮助学生解决抽象的数学问题，从而提高学生学习兴趣，将高中数学学习到极致。

1.转化斜率，求最值

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。在解题的时候，如何运用图形来更快更准确地解决数学题，是好多学生不能感受到的解题思路。

为了让学生能深刻地体会与掌握数形结合这种数学思路，我设计了这样的课程。例如，已知：图1有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）。若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围。在求解这道题的时候直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=-1/m（x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为-1/m。

因为：l与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大。在给同学们讲解题方法的时候，比如说上面的例子，可以巧妙地根据题目已知条件，常常可以根据数形结合的思路，转化为求解斜率的问题，有效地把复杂问题进行简单化，将抽象的问题进行具体化，在解决高中生数学题的时候具有较为重要的指导意义。

图1

2.构造函数，解方程

同学们在解一些高中函数题目的时候，常常可以根据题目已知条件结合自己所学的知识，画出题目所给的函数的图像，然后将函数转化为方程或者方程组，通过构造函数解方程或方程组。

比如在给同学们讲解这道题的时候，题目是：若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解，则a的值是[ ]首先我让同学们画了图像如图2所示：

其中：方程｜｜x-2｜-1｜=a的解是函数y=｜｜x-2｜-1｜的图像与y=a的图像交点的横坐标，所以原方程有三个整数解的条件，即转化为函数y=｜｜x-2｜-1｜的图像与y=a的图像有三个公共点。作y=｜｜x-2｜-1｜的图像。因为y=a的图像是平行于x轴的直线，从图像知，当y=a的图像过点(0，1)时，两图像才有三个交点(其横坐标是整数)，此时a=1。

构造函数或者构造方程，结合图像可以很轻松地解决掉数学问题中的一些疑难杂症，比如说在所给问题中本质上是关于学过的函数问题，或者是学过的方程，可以考虑构造辅助函数和方程，使得问题得以解决。

图2

二、以数辅形，解决几何题

在数学这门科学中，数学理论形式可以通过一定的图形将数学理论展现出来，从而将有些数学问题简单化。同样的，有时将图形数字化也会起到简化数学的作用，将图形从形象化到数据的定量分析，会在解决实际问题起到事半功倍的效果。

1.分析数据，证中有算

高中数学，无疑在以前数学学习的基础上上了一个台阶，这使许多学生立马感到学习的难度，遇到图形题时更是无从下手。这时，以形变数，将图形问题定量化分析，会使学习数学不那么困难。

比如我就此观点设计了这样一道例题，让学生深深地体会到以形变数的重要性。f(m)=m2-2nm+2，条件当m在[-1，+∞]，f(m)＞n恒成立，求n的取值范围。通过分析可以发现f(m)＞n恒成立，即可以写成m2-2nm+2-n＞0恒成立。令g(m)=m2-2nm+2-n，此时画出g(m)的图形在m在[-1，+∞]的情况下都是大于0都在x轴的上方。此时，运用图形显然不能解决这道题，于是换个角度讲，如此时利用判别式这个数学方法来做，问题就迎刃而解了。通过这题的解答可以看出，虽然图形可以直观地展示出来，让我们直观地看出来，但对于一些涉及量化的知识图形就做不到了，此时借助一些特有的数字公式或结论，会使问题变得无比简单。

2.建坐标系，测量距离

在数学中，数学家笛卡尔发明了坐标。它具有重大的研究意义，主要在于使数学的基本研究对象：数和形得到统一。所以利用坐标系集合数形结合的思想，既可以用运算这种处理数的方法，方便地处理图形，也可以用图形的特性，直观地解释函数的性质，所以说，坐标系是数形结合的利器。

比如说在讲解关于空间直角坐标系这道题的时候，如果直接给学生讲解答案，他们可能会一下子反应不过来，但如果以图形作为载体，在图形上直观地表现出已知条件以及尽可能地画出所要求的答案，同学们就可以很容易地理解了。这道选择题是这样的：以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA4所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（ ）。

A．（0，0．5，0．5） B．（0．5，0，0．5）

B．（0．5，0．5，0） D．（0．5，0．5，0．5）

在给同学们讲解的时候，我首先指导同学们画出由已知条件所给的空间直角坐标系，然后根据所要求的，先将答案在图上标出来，所画的图形如图3所示。

由这个图形可以很直观地看出平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，竖

坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为（0．5，0，0．5）。故选 B。

“数形转换”就是根据“数”与“形”既对立又统一的特征，通过观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。从而更好地应用在数学解题中的一种方法。

图3

三、数形串联，突出综合性

以数化形是数学解题中最常用的一种方法，学生在理解那些抽象性比较高的数量关系时可能有一定的难度，无法形成深刻的理解和认识，学习效果不理想。此时若引入“形”这一解题思路，通过直观的图形将数学难题展现出来，那么学生学习就不再感到有压力了。

1.深度观察，寻找互变条件

作为数学一种较为重要的思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性；或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。

在数学解题中，遇到难的数字化太强的题目，无从下手时，不妨试着换个思路，将数字转化为图形，说不定就柳暗花明了。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

2.梳理关系，明晰解题缺口

数形结合，可以深度梳理题目中的相关关系，准确地抓住题目的解题缺口，比如：从一些题目的解题过程可以看出，有时候综合使用“数形转换”，理解数形转换的实质，遇到实际问题从数形转换着手，就一定在有限的时间解出问题。

例如在给同学们讲解下面这道例题的时候，就运用了数形结合的方法，利用图形深度梳理题目中的已知条件，将已知与未知联系起来。这道题是这样的：已知点(3，5)M，在y轴和直线y，x上分别找一点P和N，使得MNP△的周长最小。

我给同学们在讲解这道题目前的时候，画了直角坐标系，将已知条件和未知条件都尽可能用图形表示出来，图形如图4所示。在图像上，作点(3，5)M，关于y轴和直线y=x的对称点 12M1M2，则点 12 M1M2的坐标分别为 (-3，5)，（5，3）。

图4

根据已知条件，可以整理式子得：x+4y-17=0，即是直线M1M2的方程，它与y轴和直线y=x的交点分别可以得到（0，17/4），(17/5，17/5)，即可以得到△MNP周长最小的点P和N的坐标分别为（0，17/4），（17/5，17/5）。

这道题，主要利用了数形结合的思想，梳理了题目中的已知条件，并且利用“对称关系”，几种思想相互结合，明确这道题到底在考什么，将问题转化为两点之间线段最短的问题，巧妙地解开了问题。

结 语

总而言之，数形结合思想作为一种重要的数学思想，在高中数学解题中起到了至关重要的作用，学生灵活地使用它可以将抽象复杂的数学知识生动、形象地展示出来，从而降低了学生理解数学题的难度，拓展了学生的思维，也提升了学生的解题能力。因此，教师在教学中，要积极合理地引入数形结合思想，积极培养同学们的数学发散性思维，让数形结合在教育道路上越走越远！

[1] 徐先荣．谈初中数学数形结合的教学策略[J]．考试周刊，2007(04)．

[2] 冉正伟．浅谈在高中数学教学中如何渗透数形结合思想[J]．科学咨询，2012(06)．

[3] 杨云美．数形结合的高中数学教学策略及实现[J]．语数外学习，2013(07)．

[4] 张福庆．例谈高中数学数形结合解题法教学的有效策略[J]．高中数理化，2013(16)．