基于数学核心素养视角下解答数列填空题

姚恵芳 徐丹

数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.笔者认为核心素养是学生学习、个体发展中应具备的最关键、最重要、不可缺的素养.就数学学科而言，核心素养的内涵包括数学核心知识、数学核心能力、数学核心品质，但不是它们的简单相加.任何一门学科的目标定位和教学活动都要从素养的高度来进行.

下面笔者就数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象五个方面具体研究基于数学核心素养视角下怎样解答与数列相关的填空题.

核心素养之一

数学抽象：数学抽象（Mathematical abstraction）是数学哲学的基本概念.指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程.

问题一定义映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：① f（m，1）=1;② 若n>m，则f（m，n）=0;③ f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）].则f（2，2）=，f（n，2）=_____.

解析由f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]知，令m=1，n=2，即得f（2，2）=2[f（1，2）+f（1，1）]=2[f（1，2）+1]=2，令n=2，即得f（m+1，2）=2[f（m，2）+f（m，1）]=2[f（m，2）+1]，记bm=f（m，2），则bm+1=f（m+1，2），即bm+1=2bm+2，令bm+1+c=2（bm+c），解得c=2，由b1+2=2≠0，因此，bm+2≠0，所以数列{bm+2}是以2为首项，2为公比的等比数列，即bm+2=2m，所以f（m，2）=2m-2，即f（n，2）=2n-2.

评注本题的关键是通过已知条件，将抽象的解析式具体转化成等比数列的问题，从思维角度来讲有着化难为易，化繁为简的效果，自然而顺畅，适合学生采用，实践性比较强.

核心素养之二

逻辑推理：逻辑推理即演绎推理的同义词，演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性，有着不可替代的校正作用.

问题二已知数列{an}满足an+1=an2（an为偶数），

an+12（an为奇数）， 已知am=1，则数列{an}的前m项和的最大值为.

解析an为偶数时，an=2an+1;an为奇数时，an=2an+1-1.由此可以得出am-1=2，或am-1=1，在往前推得am-2=4或am-2=3或am-2=2或am-2=1，以此类推，得到这个数列的最大的各项依次为am=1，am-1=21，am-2=22，am-3=23，…，a1=2m-1，前m项构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{an}的前m项和的最大值为1-2m1-2=2m-1.

评注本题主要是利用后一项推得前一项，从而得出首项a1，不完全归纳思想在这里体现出它该有的思路和魅力，解完此题，对照等比数列和等差数列的共同属性是由后一项与前一项的比值和差值为同一个常数，通常是由前一项推出后一项，而此题的思路与之方向相反，但是原理差别不大，都是由相邻项来导出所有的项，值得借鉴.

核心素养之三

数学建模：数学建模就是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程.

问题三若数列{an}满足a1=2，且对任意的m，n∈N，都有an+mam=an，则数列{an}的前n项和Sn=.

解析由于对任意的m，n∈N，都有an+mam=an，不妨令m=1，必有an+1a1=an，即an+1an=a1=2，从而得出数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而Sn=2（1-2n）1-2=2n+1-2.

评注本题的主旨是通过任意两项的递推关系得出后一项与前一项的关系，构造一个常见的等比数列，从一般到特殊，简明扼要，通俗易懂，让学生深刻体会构造特殊数列的优点，自然、简单、容易联想到，大大增强了解题的有效性.

核心素养之四

数学运算：数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量.运算的本质是集合之间的映射.但是现实中学生在课堂内外表现出的实际情形是运算能力普遍较弱，下面就数列中求参数的取值范围来探讨提高学生运算能力的重要性.

问题四已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1（n∈N）.若不等式λan+1≤n+8·（-1）nn对任意的n∈N恒成立，则实数λ的最大值为.

解析已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，a2n=S2n-1=（2n-1）（a1+a2n-1）2=（2n-1）an，因为an≠0，所以an=2n-1，因此，an+1=2n+1，λan+1≤n+8·（-1）nn等价于λ≤（2n+1）1+8（-1）nn对n∈N恒成立.

由于出现（-1）n，n∈N这样的式子，所以就要分奇、偶数来讨论.

评注以上的运算其实涉及分类讨论，这样的分类算是比较简单的，培养学生的运算能力不能仅仅停留在数与式简单计算的层面，只有提高学生对计算正确性的意识，才能从根本上提升他们的运算能力.

核心素养之五

直观想象：直观（perceptual intuition），通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识，数列的填空题中常常会出现直观判断而后证明猜想结论的正确性这一类问题.

问题五在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，当n≥2时，an+1是an·an-1的个位数，a2010=.

解析a1=2，a2=3，a3=6，a4=8，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，a11=8，a12=4，a13=2，a14=8，…，可以得到除去第一项、第二项外的其他项构成了一个周期为6的周期数列，从而有a2010=a2+（334×6+4）=a2+4=a6=4.

评注事实上，通过前一项得出后一项，计算到何时才能呈现结果呢？直观的想象是它们都与数列的周期性有关，在试着计算前面的几项就可以发现它们的周期，结果自然产生，而且是填空题，对于结论的正确性我们可以继续研究，但是对于填空题，能得出正确结果就是数学能力和核心素养的体现，在此没必要赘述.

以上是筆者通过对几个数列填空题的解答，阐述了在数学学科教学过程中如何有效培养学生的核心素养提出了自己的看法和体会.在平时的教学中教师要摒弃目前得到普遍采用的题海战术，从人文的角度推进数学教育教学的改革力度，要努力把学生培养成为知识丰富、思维深刻、人性善良、品格正直、心灵自由的人.只有这样，我们的教育教学才是完善的，也能让育人者静等花开.