高中数学零点问题的探讨

于聪慧

【摘要】函数的零点连接着函数、方程和图像，充分体现了函数与方程的关系，包含了数形结合的思想.在高考试卷中经常看到函数的零点问题，学生容易在此处失分.

【关键词】函数的零点;题型解法;教学方法

高考中的零点压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的.要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质做出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.

定义：对于函数y=f（x），使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.

高中阶段对于零点考点要求是什么？

考点要求：了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.

类型一周期函数零点个数问题

典例1设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=12x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a>1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是.

答案（34，2）.

评注将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数的图像在给定区间的交点个数问题，利用周期性和偶函数正确作图以及判断端点函数值的大小是解题关键.求解零点问题时，往往转化为f（x）=0的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉函数图像的交点问题求解.

举一反三已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间（-1，3）内，关于x的方程f（x）=kx+k（k∈R）有4个根，则k的取值范围是.

答案0<k≤14.

“举一反三”出自《论语·述而》.要在学生独立思考的基础上启发引导，由点到面，发散思维.当今社会讲究高效，对于数学这样一门基础学科，如何在教学中做到事半功倍，让学生高效学习，离不开“举一反三”方法的应用，重视典型例题的学习，引导学生发散思维，学会总结，触类旁通.

类型二复合函数的零点个数问题

典例2已知函数f（x）=x+1，x≤0，

x2-2x+1，x>0， 若关于x的方程f2（x）-af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是.

答案（0，1）.

评注设t=f（x），则方程为t2-at=0，解得t=0或t=a，即f（x）=0或f（x）=a，如图所示，作出函数f（x）的图像，由函数图像可知f（x）=0的解有两个，故要使方程f2（x）-af（x）=0恰有5个不同的解，则方程f（x）=a的解必有三个，此时0<a<1，∴a的取值范围是（0，1）.

在求解复合方程问题时，往往把方程f[g（x）]=0分解为f（t）=0和g（x）=t处理，先从方程f（t）=0中求t，再代入方程g（x）=t中求x的值，最直观地处理问题，为学生寻找最优解决办法.

举一反三若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根的个数是.

答案3.

类型三分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题

典例3已知函数f（x）=x2+3a，x<0，

loga（x+1）+1，x≥0 （a>0且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是.

答案13，23∪34.

评注画出函数y=|f（x）|的图像如图所示，结合图像可知当直线y=2-x与函数y=x2+3a的图像相切时，由Δ=1-4（3a-2）=0可解得a=34，此时满足题设;由函数y=f（x）是单调递减函数可知0+3a≥loga（0+1）+1，即a≥13，所以当2≥3a时，即13≤a≤23时，函数y=|f（x）|与函数y=2-x恰有兩个不同的交点，也即方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，综上所述，所求实数的取值范围是13≤a≤23或a=34，故应填答案13，23∪34.

在考试中对于分段函数与含绝对值函数典型特征为各段解析式不一致，不仅要考虑对应性，而且需考虑自变量在结合点情况及值域包含关系.

举一反三定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=-2xx+1，x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞）， 则函数F（x）=f（x）-1π的所有零点之和为.

答案11-2π.

解析由图知共有五个零点，从左到右交点横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，满足x1+x2=-6，x3=11+2π，x4+x5=6，因此所有零点之和为11-2π.