谈学生在解决数学题目时常见的几点问题

摘 要：“问题是数学的心脏”，当代美国数学家哈尔莫斯说。问题的解决不仅为我们提供了一个展示思维的平台，而且给了我们一个创新的机会。为了有效地培养我们分析问题与解决问题的能力，结合本人在平时解题中的一点理解，谈谈我们在解决数学题目时常见的几点问题。

关键词：解题；缺失；问题

一、 数学概念理解的缺失

数学命题是有概念组成的逻辑系统。概念是基础，其中每一个术语、符号和习惯用语都要一定的含义，它们反映到题目中去，就要求学生在解题时彻底理解概念之间的内在联系。

例：函数f（x）=lnx-1的零点是（ ）

A. e B. 1

C. （e，0）D. （1，0）

这是安徽省2009年学业水平测试试卷上的一道选择题。主要考查的是函数零点的概念，本来是一道比较容易的题目，但就是因为我们的概念不清，没有真正的理解函数零点的定义，不知道函数的零点到底是一个数还是一个点，造成了有相當一部分同学在此题丢分。这就充分反映了我们对概念缺乏理解。

再如：在立体几何中，我们错误地认为：若a∥α，bα则a∥b；在向量的学习中容易出现：若a·b=0则a=0或b=0的错误现象，等等现象。主要原因是我们对概念仅仅是机械的记忆，在认知结构中，概念的掌握只是些“孤立的点”，而不是“面”，最终影响了解题。

二、 题目中的信息丢失

解决问题之前有效地提取题目中的信息是一个重要的初始环节，但是我们在提取题目中的信息时，注意力往往只关注那些“重要”的信息上，那些“不明显”的信息容易被冷落，从而导致解题错误，我们经常会出现这样的低级错误。

例：一元二次不等式：ax2-2ax+3a-1≤0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围。

本题考查的是一元二次函数、一元二次不等式及一元二次方程的知识，在解题时我们可以利用二次函数图像的性质，结合函数的对称轴的位置及其函数在区间[1，2）上的单调性，很容易得出题目的答案；也可以根据恒成立题目的一般性解法，先解出参量a，然后再讨论对应函数在区间[1，2）上的最值，得出a恒大于等于函数的最大值或恒小于等于函数的最小值即可。但是，实践证明我们不论利用哪一种方法解题，都常常会把答案写成：a≤13，而没有把a=0舍去，造成这样的结果的原因很简单，就是没有“重视”题目中的“一元二次不等式”这一“不显著”的条件。

三、 数学运算能力的弱化

运算是解题的一项最基本的技能。它要求我们会根据法则、公式正确地进行运算；能根据题目的条件寻求合理的运算途径。高考中，多半的题目不仅需要运算出结果，而且有些题目还要证明，写出严格的步骤。如果在解题中出现了运算问题的话，会导致满盘皆输的。

例：已知向量a≠e，|e|=1，t∈R恒有|a-te|≥|a-e|则有（ ）

A. a⊥e

B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e）

D. （a+e）⊥（a-e）

本题考查的是向量的基本运算，向量的几何意义，解题的方法很多。从答案入手的话，四个选项中都有垂直的判断，要使两个向量垂直，就得有数量积为零的条件存在，于是想到了不等式两边取平方，然后化简、整理，最终得出结论。可想而知运算量是比较大，而且在解题的过程中也存在很多的运算技巧问题。我们不妨换个思路解题，可以从向量的几何意义入手，它其实是点到直线垂直距离|a-e|最短的问题。

四、 推理、论证能力较弱

问题解决的过程总是伴随着逻辑推理等思维运算，而推理论证能力较弱的同学，则表现为对综合性较强的题目束手无策，导致解题失败。这就需要我们平时对概念、定理、定义以及常用的解题方法牢记于心，甚至对常见的结论也应有所掌握。

例：设数列{an}的前n项和为sn，已知a1=5，an+1=sn+3n，n∈N+，若an+1≥an，求a的范围。

本题考查的是数列知识，题中给出的数列的递推关系式很明显是属于构造型递推式，可以先通过第n项an与前n项sn和的关系得出：sn+1=2sn+3n，然后设sn+1+c3n+1=2（sn+c3n），再展开和条件比较，可得出c=-1，即构造出数列{sn-3n}是以s1-3=2为首项，以2为公比的等比数列，于是可以通过先求sn的表达式，再根据第n项an与前n项和sn的关系得出数列的通项公式。但是如果我们在推理方面能力较弱的话，面对这样的题目就没办法了。另外有些同学在做此类题目时常常会通过关系式写几项，然后去猜想数列的通项公式，也不去证明，从而失去了数列题目的大部分分数。

五、 识图、作图的技能不强

在识图、作图方面要求我们能根据题目的条件识别或画出对应的图形，能将较复杂的图形分解成若干个简单的图形。在简单图形中能正确地确定出各元素的位置及相应的关系。

例：已知动圆p与定圆c：（x+2）2+y2=1向外切，又与定直线L：x=1相切，求动圆圆心p的轨迹方程。

本题考查的是求点的轨迹问题，结合题目给出的图形，我们很容易列出满足条件的关于动圆圆心p的方程：设p（x，y），根据条件得出：（x+2）2+y2-1=|x-1|，然后化简、整理得出最终的结果，很明显过程很复杂，我们如果仔细观察图形，结合题意会发现p点只能在直线x=1的左侧，进而方程可以改写成：（x+2）2+y2-1=x-1，这样化简起来就比较容易的多。当然如果学生再仔细思考一下可以发现，点p到定圆圆心（-2，0）的距离等于到定直线x=2的距离，则动点p的轨迹是以（-2，0）点为焦点，以x=2为准线的抛物线，方程是：y2=-8x。可见如果学生有较强的作图，识图能力的话，在解这方面的题目是就大大地简化了解题步骤，化繁为简。（指导老师：谢辉）

参考文献：

[1]张智.数学解题的基本方法[J].数学空间.

[2]何华.数学题解题技巧谈[J].科教创新.

作者简介：

王浩宇，安徽省阜阳市，阜阳一中。endprint