巧借他山之石培养初中生数学核心素养

石瑛莹

摘要：在教学中如何培养发展学生的数学核心素养是对一线教师提出的新要求，本文通过拓展课程的两个不同设计--知识拓展课程设计和技能拓展课程设计的对比详细介绍了如何做到拓展课程教学形式的多元化、内容设计的合理性及课堂的高效性，对通过拓展课程发展学生数学核心素养的有效性做了深入的研究。

关键词：拓展课程；知识拓展；技能拓展；发展数学核心素养

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）12-0129-03

1.背景介绍

笔者所在学校是区教育局直属公办初中，现有班级45个，在校学生2500余人。"让每个学生有梦想有希望"是我校的办学理念，作为公办初中办学行为必须规范，在私立学校狠抓成绩的对比下，公办学校既要出成绩又要兼顾学生的特长发展，让每个学生有梦想有希望，对学校管理者和一线教师就提出了挑战。为了贯彻党的教育方针，落地立德树人，更好地帮助每一位初中生实现全面且有个性的发展，根据《教育部关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》和《浙江省深化义务教育课程改革指导意见》等相关文件精神，校领导带领一线教师着力进行深化课程改革的探索与实践。

从培养学生核心素养出发，对基础性课程进行衔接、整合和拓展，架构起我校课程的6大领域、11门基础学科、11大MX拓展课程群。

"MX拓展课程"之名取自"让每个学生有梦想有希望"中的"梦想"与"希望"的第一个字的大写字母"M"和"X"。"M"代表兴趣特长和社会实践拓展课，"X"代表知识拓展课。

作为数学老师，面对的课题是开发X拓展课程中的数学与思维拓展课，经过反复思考论证后按学生的学情开展了数学知识拓展与数学技能拓展两部分拓展课。分阶段实施，每周2节课，时间安排在周五下午第五节和第六节课，由学生自主报名选择参加知识拓展课或技能拓展课，教师审核，学生自主选择适合自己课程的前提是教师在学生的自我评价的银行里存储了足够的资本，为学生能够正确的选择适合自己的拓展课做好了准备，以增加教师审核的通过率。实行年级组内走班。老师根据数学学科本质，结合学生已有经验、发掘教学资源依托备课组的集体合作对教材进行二次开发，进行学科知识拓展与学科技能拓展以期望对学生的数学素养有较大提升。

2.《乘法公式》的知识拓展课与技能拓展课教学研究对比

2.1对于知识拓展课的教学研究。教学内容分析：本文是依据浙教版《数学》七年级下册3.4乘法公式第1课时"平方差公式"设计的拓展课程，本节课是在学习教材乘法公式第1节新课后设计的拓展课程，探索平方差公式的八种变化形式。在教学中引导学生仔细观察、总结归纳规律，发展学生的数学核心素养。

学生认知基础：本节拓展课的学习主体是选报知识拓展课程的同学，学生在学习过平方差公式的基础上已经掌握了基本的使用平方差公式进行计算和应用公式的能力，为本节探索公式的变化做好准备。

教学目标：（1）在学生进行知识拓展的同时培养数学核心素养。（2）发展数学建模意识。（3）发展观察的细致性，归纳的条理性。（4）培养学生发现问题、提出問题、分析问题、解决问题的能力。

教学重点：平方差公式的八种变化形式。

教学难点：增因式变化及增项变化。

教学过程：

（一）复习引入新课

请同学们写出平方差公式：___________。

（二）知识拓展：

（1）请同学们计算下列题组。

①（b+a）（-b+a）②（-a-b）（a-b）

③（2a+3b）（2a-3b）④（a2+b2）（a2-b2）

⑤（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）

⑥（a-b-c）（a-b+c）⑦（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）

⑧a2-b2

学生练习后到黑板板演。教师带领学生校对批改后，请学生总结归纳规律。

平方差公式的8种变化形式

①位置变化：（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2

②符号变化：（-a-b）（a-b）=？（a+b）（a-b）=-（a2-b2）

③系数变化：（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2

④指数变化：（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2

⑤增因式变化：（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）=（a2-b2）[（-a）2-b2 ]

⑥增项变化：（a-b-c）（a-b+c）= （a-b）2-c2

⑦连用公式变化：（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

⑧逆用公式变化：a2-b2=（a+b）（a-b）

（三）拓展习题

（1）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）。

A.（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2

B.（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4

C.（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1

D.（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4

（2）下列各式中，运算结果是9m2﹣16n2的是（ ）。

A.（3m+2n）（3m﹣8n）

B.（﹣4n+3m）（﹣4n﹣3m）

C.（﹣3m+4n）（﹣3m﹣4n）

D.（4n+3m）（4n﹣3m）

（3）（﹣3x2+2y2）（_______）=9x4﹣4y4.

（4）定义运算a？b=a2﹣b2，下面给出了关于这种运算的四个结论：endprint

①2？（﹣2）=0；②a？b=b？a；③若a？b=0，则a=b；④（a+b）？（a﹣b）=4ab，

其中正确结论的序号是_____（填上你认为所有正确结论的序号）。

（5）（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是（ ）。

A.x4+16 B.﹣x4﹣16 C.x4﹣16 D.16﹣x4

6.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：

解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）

=（24﹣1）（24+1）

=28﹣1

根据上题求：①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字。

② （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）的值。

有效教学意图：作为知识拓展课，重点知识回顾和基本技能的强化成为必不可少的环节，是防止学生知识遗忘和内化知识逐步系统化的过程，但学生对于某些公式、定理的记忆经常是机械的、枯燥的，在回顾公式的过程中，如果只是单纯的采取展示概念或一味地練习题目都会使学生产生心理疲劳，继而产生厌倦感，体会不到学习和探索知识的乐趣，不利于培养学生的数学核心素养。课堂教学设计时采用将知识点"小题化"的教学策略，利用变式题组对拓展知识加以探索、巩固和归纳。题组的设计认知源于教学起点的选择是先从学生的熟悉的平方差公式出发，再到由课本习题改编加深的拓展题，符合学生学习知识的最近发展区，更能够充分调动学生学习与探索的主动性，在学生的活动过程中发展数学核心素养。

2.2对于技能拓展课的教学研究。教学内容分析：本节课是在学习浙教版《数学》七年级下册3.4乘法公式第2课时"完全平方公式"后设计的技能拓展课程，探索对完全平方公式的变形所得到的二阶衍生等式。在教学中引导学生主动参与数学活动，通过本节内容对完全平方公式有新的更全面的认识并构建数学模型以发展学生的数学核心素养。

学生认知基础：本节拓展课的学习主体是选报技能拓展课程的同学，学生在学习过平方差公式、完全平方公式的基础上已经掌握了使用公式进行计算和应用公式的能力，为本节探索公式的二阶衍生等式做好准备。

教学目标：（1）在学生深入探索数学问题的技能拓展课程中培养发展数学核心素养。（2）构建数学建模意识。（3）提高化繁为简的能力，发展思考的条理性。（4）解决复杂计算问题时，经历猜测、探索、计算、验证等主动数学活动过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

教学重点：二阶衍生等式的探索。

教学难点：二阶衍生等式所对应的练习题。

教学过程：

（一）复习引入新课

两数和的完全平方公_______，即两数和的平方于_______。

两数差的完全平方公_______，即两数差的平方于_______。

（二）技能拓展：

（1）请同学们把两个公式竖着对齐写，并在公式后面标好①②，按如下三个指令探索。

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

指令1：①②两式分别移项可得哪些式子；指令2：①-②可得什么式子；

指令3：①+②可得什么式子。

学生活动后得到如下结果：

①②两式分别移项可得a2+b2=（a+b）2-2ab；a2+b2=（a-b）2+2ab

①-②可得（a+b）2=（a-b）2+4ab；

①+②可得（a-b）2=（a+b）2-4ab

学生小结：由（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2变形可得a+b，a-b，ab，a2+b2四者之间的相互关系。

（2）教师出示完全平方公式的一些其他常用的等式关系。请学生以学习小组为单位每组选择两个等式进行证明，并板演。

①（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

②（a+b）2-（a-b）2=4ab

③ab=（a+b2）2-（a-b2）2

④a2+1a2=（a+1a2）2-2

⑤a2+b2+c2+ab+bc+ac=12[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]

⑥a2+b2+c2-ab-bc-ac=1a2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

3.拓展习题

（1）已知a+b=4，a﹣b=3，则求a2-b2。

（2）若a﹣b=1，则求代数式a2﹣b2﹣2b的值。

（3）若a+b=5，ab=2，则求a2+b2的值。

（4）若a+b=3，a﹣b=7，求ab。

（5）若a-b=5，ab=2，则分别求（a-b）2，（a+b）2，a+b， a2+b2，a2﹣b2的值。

（6）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则求a﹣b。

（7）若a+1a=4，分别求a2+1a的值和a-1a的值。

有效教学意图：作为技能拓展课，在使用公式的过程中应该充分体公式应用的灵活性，根据学生对公式的掌握情况，以及具体的熟练程度在课堂中及时微调内容安排。在引导学生对公式总体把握与应用的同时，还要注重带领学生把公式各种变形的来源和相互之间的联系通过探索和体会等课堂活动生成自己的数学技能，比如探索求解过程中书写的严密性、规范性，条件使用的完整性都必须落实到位，通过有效的数学活动发展学生的数学核心素养。

4.收获与反思

以上仅是我们开展数学拓展课程中的一例。通过一学年数学拓展课程的开发和教学，有效弥补了学生学业水平参差不齐导致的课堂效率不高、抽测成绩不理想的情况。学生学习数学的兴趣和积极性都很活跃，对于不同程度学生都有个性化发展目标和课程内容，带领学生在参与数学拓展课程活动的过程中培养和发展了学生数学核心素养。

综上，不论是知识拓展课还是技能拓展课，作为教师在拓展课程的设计中，要学会给学生几个问题，让他们自己去探索、解决；给学生几个条件，让他们自己去思考、添加；给学生一个舞台，让他们去展示自己最美的舞姿。教师要甘做幕后导演，设计有效的拓展课程，成为学生起航数学核心素养之路的护航者。

参考文献：

[1]唐建强，赵惠娟.让每个学生有梦想有希望--初中深化课程改革探索与实践[J].余杭教育，2017（6）：5.

[2]李明方，王修燕.平行四边形复习课[J].中小学数学，2016年3月（中旬）：23.

[3]王绚主编.初中新学案优化与提高[Z].天津：天津科学技术出版社，2017：57.endprint